如果是题主是在物理遇到的问题，那么想要得到的结论应该是这样的：如果调和函数在边界上取值为零，则在整个区域内处处为零。
数学上解释，这实际上是复变函数的一个结果：最大模原理，我个人理解这是解析函数平均值定理的一个推论，可以在任何一本复变函数或是复分析的教材中找到证明。当然这一结论的证明也可以不依赖于复变函数。利用微积分的知识也可以证明这一结论。基本思想也是先利用Gauss公式证明平均值定理，题主可以参考相关的教科书。
物理上解释，这里可以提供一种看法。把调和场看作一个给定区域内的静电场，区域内没有静电荷（否则就不是调和场了）。我们断言电势极值不能在区域内取到。以极大值为例，如果存在一点是电势极大值，那么在这一点附近电场都是离开该点方向的。在这一点附近取一个Gauss面，根据Gauss定理可知内必然存在正电荷，与区域内没有静电荷的假设相违背。
另外binjie li指出无源的稳态热传导方程也会退化为Laplace方程，因此调和函数也对应一个稳态且区域内部没有热源的温度分布。从物理上看，似乎比较显然显然在区域内部不可能达到极值。所在边界上取值都为零，那么在区域内部显然也应为零。
当然，有几位同学的答案“如果调和函数在很小的区域内恒为0，它必在整个区域上恒为0”结论也是对的，但这实际上不是调和函数特有的性质而是一般解析函数所具有的性质。而且在物理上这个结论似乎也并不重要，只是偶尔出现在唯一性定理的证明中。
作者：andrew shen
链接：
http://www.zhihu.com/question/20889241/answer/21368149来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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