3.求函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 的最小正周期,最大值和最小值

Question

如题所述

Answer 1

首先，我们对函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 进行简化。
根据三角恒等式 sin^2x + cos^2x = 1，我们可以将函数简化为：
y = 3(sin^2x + cos^2x) - 2sinxcosx = 3 - 2sinxcosx
最小正周期：
sin(x) 和 cos(x) 的最小正周期均为 2π，因此函数 y 的最小正周期也为 2π。
最大值和最小值：
我们可以将函数 y=3 - 2sinxcosx 写成 y = 3 - sin(2x) 的形式。
sin(2x) 的最大值和最小值分别为 1 和 -1。
因此，函数 y=3 - sin(2x) 的最大值为 3 - 1 = 2，最小值为 3 - (-1) = 4。
所以，函数 y=3sin^2x-2sinxcosx+cos^2x 的最小正周期为 2π，最大值为 4，最小值为 2。

Answer 2

要确定函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 的最小正周期，我们需要考虑三角函数的周期性质。
对于任何三角函数 f(x)，其最小正周期可以表示为 2π/k，其中 k 是正整数。在这个函数中，我们可以将它化简为：
y = (sinx - cosx)^2
可以观察到，它是两个三角函数之差的平方。根据三角函数的和差公式，我们知道：
sin(x ± π/4) = sinx*cos(±π/4) ± cosx*sin(±π/4)
其中，sin(±π/4) 和 cos(±π/4) 的值都是 1/√2。因此，我们可以将 y 进一步化简为：
y = (sinx - cosx)^2
= sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x
= (sinx - cosx)^2
= sin^2(x - π/4)
由此可见，函数 y 的最小正周期为 π，即 2π/1。因此，这个函数的最小正周期为 π。
接下来，我们来求函数 y 的最大值和最小值。
通过观察，我们可以发现函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 实际上是两个三角函数 sin^2x 和 cos^2x 的和。
由三角函数的性质可知，0 ≤ sin^2x ≤ 1 和 0 ≤ cos^2x ≤ 1。因此，函数 y 的取值范围是 0 到 2。
最小值为 0，当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最小值 0 时，即 x = (2n + 1)π，其中 n 是整数。
最大值为 2，当 sin^2x 和 cos^2x 同时取到最大值 1 时，即 x = 2nπ 或 x = (2n + 1)π，其中 n 是整数。
综上所述，函数 y = 3sin^2x - 2sinxcosx + cos^2x 的最小正周期为 π，最大值为 2，最小值为 0。本回答被网友采纳