怎么证有限维空间的线性算子有界

Question

如题所述

Answer 1

【1】从赋范空间上的线性算子到有限维空间上的线性算子

给“赋范空间”加了一个“有限维”，得出两个结论

（1）有限维赋范空间（赋范线性空间，简称赋范空间）上的线性算子，可以用一个矩阵表示。

什么情况下一个线性算子可以用一个矩阵表示？就是在有限维的情况下。
无限维空间，比如C[a,b]上的微分、积分算子不一定能用矩阵表示。

【2】B(X,Y)与Mm×n(K)Mm×n(K)线性同构
线性同构：一一映射

【3】有限赋范空间到赋范空间的线性算子一定有界。

Answer 2

Answer 3

泛函分析中一种重要的算子。

算子(映射)有线性和非线性之分．线性算子又分为有界和无界两类，有界线性算子是线性赋范空问的基本概念。

中文名
有界线性算子
所属领域
数理科学
外文名
bounded linear operator
反义词
无界线性算子
目
录
1基本定义
2举例
3相关概念
4相关定理
5等价形式
1基本定义
①设是从线性赋范空间到的线性算子。 如果当存在且有限，则称是有界线性算子，也就是说将中的每个有界集映射为中的有界集。此处|表示范数，表示中定义的范数，表示中定义的范数。

②设V1与V2是同一数域K上的赋范线性空间，D是V1的子空间，T:D→V2是一映射．如果T满足： 、



则称T是可加的．如果T满足：



则称T是齐次的．如果T既是可加的又是齐次的，则称T是一个线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，即D(T)=D．如果T是线性算子且存在常数M>0使得



则称T为有界线性算子．特别地，当V2是数域K时，则称有界线性算子T为有界线性泛函．

2举例
下面介绍几个简单例子．

例l1设V是赋范空问，定义



则I与θ都是V上(即V到V)的有界线性算子，分别称为恒等算子与零算子，零

算子θ常记为0(与数零用同一记号)．