已知f(x)=x^3+x x属于R 1判断f(x)在R上的单调性,并证明2求证:满足f(x)=a(a为常数)的实数x至多只有一个

Question

如题所述

Answer 1

1.
f(x)在R上的单调递增

设m>n
则：f(m）-f(n)=(m^3-n^3)+(m-n)
=(m-n)(m^2+mn+n^2+1)
=(m-n)[(m+(n/2))^2+(3/4)n^2+1)>0
所以：f(m)>f(n)
所以：f(x)在R上的单调递增

2.
设P(x)=f(x)-a
则：P(x)在R上的单调递增
所以，至多只有一个x,使得：P(x)=0
即：至多只有一个x,使得：f(x)-a=0, 即:f(x)=a

Answer 2

1.在R上任取x1,x2满足x1＜x2
则f(x1)-f(x2)
=x1^3-x2^3+x1-x2
=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2)+(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x2^2+x1x2+1)
而x1^2+x2^2+x1x2+1=(x1+0.5x2)^2+0.75x2^2+1＞0
而x1-x2＜0
故有f(x1)＜f(x2)
即f(x)在R上是增函数。
2.设有两数满足
f(x1)=a,f(x2)=a
且x2＞x1
则由x2＞x1,f(x2)＞f(x1),
即a＞a这是不可能的
故仅有一数满足f(x)=a

Answer 3

证明：
设：对任意x1,x2,有x1<x2,即x2-x1>0
f(x2)-f(x1)=x2^3-x1^3+x2-x1
=(x2-x1)(x2^2+x1*x2+x1^2)+(x2-x1)
=(x2-x1)[(x2+0.5*x1)^2+0.75*x1^2+1]>0
即当x2>x1时，有f(x2)>f(x1)总是成立，所以函数为单调的，且为单调增

可用反证法
设有任意x1,x2同时满足f(x1)=f(x2)=a,且x1不等于x2，不妨设x1<x2
由于f(x)单调增，则有f(x1)<f(x2)，与f(x1)=f(x2)的假设矛盾，因而假设错误，原结论得证