函数在某一点的左右导数相等，那么在这一点一定是可导的吗

Question

如题所述

Answer 1

函数在某一点的左右导数相等，那么在这一点不一定是可导。例如，可去间断点：左极限和右极限存在且相等但是该点没有定义。

给定一个函数f（x），对该函数在x0取左极限和右极限。f(x)在x0处的左、右极限均存在的间断点称为第一类间断点。若f(x)在x0处得到左、右极限均存在且相等的间断点，称为可去间断点。可去间断点是不连续的。可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数。

扩展资料：

如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。

函数可导的充分必要条件：函数可导的充要条件：左导数和右导数都存在并且相等。

函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。 

参考资料来源：百度百科-可去间断点

Answer 2

在某一点的左导数右导数存在相等，还需要在这一点连续，否则不相等。
比如可去间断点，满足左右导数存在且相等，但在这一点不连续，故不可导，连续是可导的必要条件。追问

也就是说要想确定分段函数在分断点的导数，不光要验证左右导数存在也相等，还要验证在这一点连续是吗

追答

是的，必须满足连续才能讨论是否可导

追问

这样啊，好的，蟹蟹啦

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Answer 3

函数在某一点可导的充要条件就是左右导数存在且相等，所以左右导数相等就一定可导。其他那些扯到极限的都是不正确的，那是在讨论导函数是否连续的问题，跟在那一点可导没关系。在那一点可导，并不要求导函数在那一点要连续。

Answer 4

看了这么多的其他的回答，只有一个回答是正确的，但是太短，还被人说是错的。。。建议思考这个问题的同学，把思维导图画一画，到底是哪一个地方存在矛盾？想清楚了，然后去解决它。会思考这个问题的同学，一般脑海里有几张存在疑问的函数图像，即包含第一类间断点的函数图像，可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点，首先说一下可去间断点，函数在某点的左导数，右导数亦或是导数，定义里面都含有一个fx 0，如果fx在x0点没有定义都用不了，更不用谈导数是多少。之前认为存在导数值的同学一定是惯性思维使用了基本求导公式，认为其存在，如果题目做得多的同学应该会接触到分段函数的求导问题，分段点求导只能用定义去求导，是不能用基本求导公式的。和此问题类似。然后是跳跃间断点，跳跃间断点，虽然可能在fx 0处有定义，但是左右导数必有一个求不出来，不要问我为什么了，自己用定义去求就知道了。那么综上所述，包含第一类间断点的函数在间断点处不存在导数的。那么现在解决了这一个疑问了，实际上会证明可导必连续的同学，那么在左右导数存在时，甚至不需要相等就可以证明函数该点连续。所以以后思考问题的时候就要想，如果在该点不连续，那么左右导数肯定不会都存在。如果你觉得存在了，那肯定是你求导数的方法错了。回答就到此为止了。

Answer 5

这个采纳答案是认真的吗？可导的充要条件就是左右导数相等，按采纳的答案的话，等于直接推翻了这个定理。