请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Question

如题所述

Answer 1

已知抛物线E：x²=2py，直线y=kx+2与·E交于A、B两点，且OA•OB=2，其中O为原点。
(1)。求抛物线E的方程；(2)。点C的坐标为(0，-2)，记直线CA，CB的斜率为k₁，k₂，
证明k₁²+k₂²-2k²为定值。
解：(1)。将直线方程y=kx+2代入抛物线方程，得x²=2p(kx+2)，即有x²-2pkx-4p=0；
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-4p，y₁+y₂=k(x₁+x₂)+4=2pk²+4.
y₁y₂=(kx₁+2)(kx₂+2)=k²x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4=-4pk²+4pk²+4=4.
OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=-4p+4=2，即有4p=2，故得p=1/2；于是得抛物线方程为x²=y.
(2)。当p=1/2时，x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，y₁y₂=4，y₁+y₂=k²+4；y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2；
k₁=(y₁+2)/x₁=(kx₁+4)/x₁=k+4/x₁； k₂=(y₂+2)/x₂=(kx₂+4)/x₂=k+4/x₂；
故k₁²+k₂²-2k²=(k+4/x₁)²+(k+4/x₂)²-2k²=(k²+8k/x₁+16/x₁²)+(k²+8k/x₂+16/x₂²)-2k²
=8k(1/x₁+1/x₂)+16(1/x₁²+1/x₂²)=8k(x₁+x₂)/x₁x₂+16(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)²
=8k(x₁+x₂)/x₁x₂+16[(x₁+x₂)²-2x₁x₂]/(x₁x₂)²
=8k²/(-2)+16(k²+4)/4=-4k²+4(k²+4)=16=常量。
故证。