第4个回答 2014-08-26
17和3,7和13
这是安徽庐江县的贫困残疾人何怀能几年前写的,有人帮我发表吗?
对素数比较熟悉的人,都听说过素数代数式.一个含有字母的代数式,当字母是一类数时,代数式的值都是素数.
素数就是质数,素数代数式就是质数代数式.素数代数式通常要求不依赖于威尔逊定理.有没有素数代数式呢?如果要求不高,还真的有.
n是一个奇数素数,[2^(2n)-1]/[2n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,2n＋1一定是素数.
下面写出证明.
引理一:101-24=77,77-24=53,53-24=29,29-24=5,24-5=19,19-5=14,14-5=9,9-5=4,5-4=1......
被减数-减数=差.两个互质的整数相减,所得的差与两个整数分别互质.然后差和减数再相减.如此进行下去.每一次相减,三个整数是两两互质的,互质的整数不相等.差越来越小,一定能到1.有一个特殊情况就是2-1=1,不知道1和1是否算互质.
引理二:p是偶数,q是奇质数,p＜q.p和q显然互质.则有:2^p+1不能被3整除,2^p-1能被3整除.2^q+1能被3整除,2^q-1不能被3整除.这是已知的结论.设M=2^1+1,用(M-1)× (M-1)× (M-1)×(M-1)......±1可以证明.
引理三:
8,23.
2^8-1,2^23+1.
①(2^8-1)+(2^23+1)=2^8×(2^15+1).②(2^15+1)+(2^8-1)=2^8×(2^7+1).③(2^8-1)+(2^7+1)=2^7×(2^1+1).计算可知:(2^23+1)和(2^1+1)的最大公约数是3.(2^8-1)和(2^23+1)的最大公约数是3.
p是偶数,q是奇质数,p＜q.p和q显然互质.
如果2^p-1与2^q+1,含有大于1的最大公约数C,则以下的代数式都含有相同的公约数C.①(2^q+1)+(2^p-1)=2^p×[2^(q-p)+1].因为2^p不含有C,所以只要考虑2^(q-p)+1是否有C.②[2^(q-p)+1]+(2^p-1)=2^p×[2^(q-2p)+1].因为2^p不含有C,所以只要考虑2^(q-2p)+1是否有C.③就这样依次运算下去.和或差除以2的整数次方后变成奇数,这个奇数再和等号前面幂较小的数进行加减.如果都是+1或者都是-1,两个代数式相减.如果是+1和-1,两个代数式相加.抵消以后,变成了两个2的整数次方的加和减.④等式右边的代数式除以2的整数次方后,所剩下的代数式,次数是左边两个代数式次数的差.p和q互质,2的次方数的变化情况,引理一可以解决.到最后可以得到2^e(2^1+1)或2^e(2^1-1).⑤如果2^p-1与2^q+1含有最大公约数C,依照代数式的运算规则,所有的代数式都含有约数C.2^e×(2^1-1)与2^p-1和2^q+1都互质,而根据引理二,2^p-1和2^q+1至少有公约数3,因此运算实际上不会得到2^e×(2^1-1).2^e×(2^1+1)和2^q+1,2^e与2^q+1互质,2^1+1与2^q+1的公约数是3.因为2^q+1和2^e×(2^1+1)的最大公约数是3,所以2^p-1与2^q+1的最大公约数是3.C=3.
引理四:p是偶数,q是奇质数,p＜q.p和q显然互质.
如果2^p-1与2^q-1含有大于1的最大公约数D,则以下的代数式都含有因数D.①(2^q-1)-(2^p-1)=2^p×[2^(q-p)-1].因为2^p与2^q-1和2^p-1都互质,所以只要考虑2^(q-p)-1是否有D.②(2^p-1)-[2^(q-p)-1]=2^(q-p)×[2^(2p-q)-1].因为2^(q-p)与2^p-1和2^(q-p)-1都互质,所以只要考虑2^(2p-q)-1是否有D.③就这样依次运算下去.如果都是-1,两个代数式相减.抵消以后,变成了两个2的整数次方相减.所得差除以2的整数次方变成奇数,这个奇数再和等号前面幂较小的数进行相减.④等式右边的代数式除以2的整数次方后,所剩下的代数式,次数是左边两个代数式次数的差.p和q互质,2的次方数的变化情况,引理一可以解决.到最后可能得到2^e(2^1±1)这样的代数式,至少有其一.⑤如果2^p-1与2^q-1含有大于1的最大公约数D,依照代数式的运算规则,所有的代数式都含有D.2^e与2^q-1互质,2^1-1与2^q-1互质,2^1+1与2^q-1互质.因为2^q-1和2^e(2^1±1)是互质的,不含有大于1的公约数,所以2^p-1与2^q-1不含有大于1的最大公约数D.D并不存在.
引理三和引理四的②,等式右边的结果不是唯一的,要求代数式2的次方数是正整数.
引理五:p是偶数,q是奇质数,p＜q.p和q显然互质.
2^p-1与2^q+1的最大公约数是3,2^p-1与2^q-1互质.因此,2^p-1与2^(2q)-1的最大公约数是3.
已知n是奇数素数,[2^(2n)-1]/[2n＋1]是一个整数.假设2n＋1是一个伪素数,看看是否会出现逻辑上的矛盾.2n＋1会有某一个质因数A,A＜n＜2n＋1.A是素数,A是2^(A-1)-1的因数,A-1是小于素数n的偶数.
根据引理五,2^(A-1)-1与2^(2n)-1的最大公约数是3.A是2^(A-1)-1的因数,2n＋1是2^(2n)-1的因数.A和2n＋1的最大公约数是3.A只能是3.2n＋1的质因数只能都是3,2n＋1=3^k.
①假设2n＋1是一个伪素数,有6＜n.②因为2n＋1是伪素数,所以2n＋1含有因数9.③9是2n+1的因数,2n＋1是2^(2n)-1的因数,9是2^(2n)-1的因数.9同时是2^6-1的因数.9是2^(2n)-1和2^6-1的公约数.这就是假设所推理出的"结论".
6是偶数,n是素数,6＜n.6和n显然互质.根据引理五,2^6-1和2^(2n)-1的最大公约数是3,公约数不是9.这时出现了矛盾,矛盾是由假设2n＋1是一个伪素数引起的,因此假设不成立.2n＋1不是一个伪素数,2n＋1又符合费马小定理,2n＋1是一个素数.
到此证明完成.算上唯一偶素数2,可以写成:n是一个素数,[2^(2n)-1]/[2n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,2n＋1一定是素数.
列出100以内的n:2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 .相应的2n＋1:5 7 11 23 47 59 83 107 167 179 .100内共有10个n,100内共有8对孪生素数.200内共有15个n,200内共有15对孪生素数.
列出类似的素数公式,证明过程省略.仅供参考.
n是一个素数,[2^(4n)-1]/[4n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,4n＋1是素数.
n是一个素数,[2^(6n)-1]/[6n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,6n＋1是素数.
n是一个素数,[2^(8n)-1]/[8n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,8n＋1是素数.
n是一个素数,[2^(10n)-1]/[10n＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,10n＋1是素数.
n,m是孪生素数,[2^(2nm)-1]/[2nm＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,2nm＋1是素数.
n是一个素数,[2^(4n^2)-1]/[4n^2＋1]是一个整数.当n同时满足这两个条件,4n^2＋1是素数.
n,m是素数,2nm大于2^(2n),[2^(2nm)-1]/[2nm＋1]是一个整数,2nm＋1是素数.