解:1:⑴由题可知,bn=x(n+1)/xn为等比数列,
且公比为λ,bn=b1*λ^(n-1),
而b1=x2/x1=1,所以bn=λ^(n-1),得b4=λ^3,b3=λ^2,b2=λ,得x3=λ*x2=λ,x4=λ^2*x3=λ^3,x5=λ^3*x4=λ^6,
又x1 x3 x5成等比数列,x1=1,x3=λ,x5=λ^6,
所以x1*x5=X3^2,得λ^6=λ^2,λ为非零参数,
故λ=±1.
⑵由⑴可知,bn=λ^(n-1),即x(n+1)=λ^(n-1)*xn,
归纳,再分式相乘得通项公式为Xn=λ^((n-1)(n-2)/2),
所以x(n+k)/xn=λ^[(k^2-3k+2nk)/2],公比为λ^k
则x(1+k)/x1+x(2+k)/x2+...+x(n+k)/xn
={λ^[(k^2-k)/2]*(1-λ^(nk))}/(1-λ^k),
而0<λ<1,常数k属于自然数且K>=3,
λ^[(k^2-k)/2]*(1-λ^(nk))<λ^[(k^2-k)/2],K>=3,
所以k^2-3k≥0恒立,即(k^2-k)/2>k,0<λ<1,
故λ^[(k^2-k)/2]<λ^k,而分母一样,所以原不等式得证。
2:⑴倒数,可化简得1/an=2/3n+(n-1)/3na(n-1),两边同乘以n,
得n/an=2/3+(1/3)*(n-1)/a(n-1),
可用待定系数法,求得[n/a(n)] -1为等比数列,且等比为1/3,
于是[n/a(n)] -1=-(1/3)^n,
得,a(n)=n/(1-(1/3)^n){=n*3^n/(3^n-1)}
(2)a(n)=n*3^n/(3^n-1)=n*(1+1/(3^n-1)),
所以该数列各项之积为:
n!*(1+1/(3-1))(1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……(1+1/(3^n-1))
下面用数学归纳法证明(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^n-1))<2-1/3^n (右边这个数是根据左边式子的特点构造的)
①n=1时,3/2<5/3 ,显然成立。
②假设n=k时成立,即有(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^k-1))<2-1/3^k
则n=k+1时,(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^(k+1)-1))<(2-1/3^k) (1+1/(3^(k+1)-1)
=(2*3^k-1)/(3^k)*(3^(k+1))/(3^(k+1)-1)
=3(2*3^k-1)/(3^(k+1)-1)
=(2*3^(k+1)-3)/(3^(k+1)-1)
=(2*3^(k+1)-2-1)/(3^(k+1)-1)
=2-1/(3^(k+1)-1)
<2-1/(3^(k+1))
这说明:n=k+1时不等式成立。
综合①②知:不等式对任意正整数n都成立。
即有:(1+1/(3-1))((1+1/(3^2-1))(1+1/(3^3-1))……
(1+1/(3^n-1))<2-1/3^n
而2-1/3^n <2显然成立。
∴该数列各项之积<2n!
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