等差数列通项公式

Question

设Sn为数列（an)的前n项和，对任意的n属于N*，都有Sn=(m+1)-man(m为常数，且m>0)。
1.求证数列（an)是等比数列；
2.设数列（an)的公比q=f(m),数列（bn）满足b1=2a1,bn=f(b(n-1 ))(n大于等于2，n属于N*），求数列（bn)的通项公式；
3.在满足题2的条件下，求数列（2的n+1次方比bn）的前n项和Tn.

Answer 1

1.
证：
Sn=(m+1)-man
Sn-1=(m+1)-ma(n-1)

an=Sn-Sn-1=(m+1)-man-(m+1)+ma(n-1)
(m+1)an=ma(n-1)
an/a(n-1)=m/(m+1)
m为常数，且m>0,分数有意义，an/a(n-1)为常数。
令n=1 a1=S1=(m+1)-ma1
(1+m)a1=m+1 a1=1
数列{an}为等比数列，首项为1，公比为m/(m+1)。

2.
q=f(m)=m/(m+1)
b1=2a1=2
bn=b(n-1)/[b(n-1)+1]

b2=b1/(b1+1)=2/3
b3=b2/(b2+1)=(2/3)/(2/3+1)=2/5
假设n=k时，bk=2/(2k-1)，则当n=k+1时
b(k+1)=bk/(bk+1)
=[2/(2k-1)]/[2/(2k-1)+1]
=2/[2+(2k-1)]
=2/(2k+1)
=2/[2(k+1)-1]，仍然满足同样的表达式

bn=2/(2n-1)

3.
cn=2^(n+1)/[2/(2n-1)]
=2^(n+1)(2n-1)/2
=2^n(2n-1)

c1=2 c2=12

cn-c(n-1)
=(2n-1)*2^n-2^(n-1)(2n-3)
=2^(n-1)[4n-2-2n+3]
=2^(n-1)(2n+1)
=2^(n+1)(2n+1)/4
=c(n+1)/4

c(n+1)=4[cn-c(n-1)]
cn=4[c(n-1)-c(n-2)]
...
c3=4(c2-c1)
连加
c3+c4+...+cn=4[c(n-1)-c1]
c1+c2+...+cn=4c(n-1)+6

Tn=4c(n-1)+6
=4*2^(n-1)(2n-3)+6
=(2n-3)2^(n+1)+6

Answer 2

1.证明：S（n）=(m+1)-m*a（n）；
S（n+1）=(m+1)-m*a（n+1）；
两式做差，化简得：a（n+1）/a（n）=m/（m+1）=常数；
所以a（n）为等比数列。
2.由q=f（m）=m/（m+1），s1=a1==(m+1)-m*a1，得，a1=1；b1=2a1=2；
bn=f(b(n-1 ))=b（n-1）/（b（n-1）+1）；两边同时取倒数，1/bn=1+1/b（n-1），数列{1/bn}为等差数列，求出通项，再倒过来。b（n）=n-1/2；
3.那个乘方不好表示，思路我说一下：该数列通项为一分数，分母为等差，分子为等比，仍然取到后算通项，再取到回来。

如果还不明白，Q我：562809412.

Answer 3

Answer 4

an=a1+(n-1)d

Answer 5

An=a1+(n-1)d