相对论 的题目，解答过程要详细 高手来

Question

太空火箭（包括燃料）的初始质量为Mo，从静止起飞，向后喷出的气体 相对

火箭（注意相对火箭） 的速度u为常量，任意时刻火箭速度（相对地球）为v

时火箭的 静止质量 为mo。忽略引力的影响，求比值mo/Mo于速度v之间的关

系。

要把相对论效应考虑进去啊~~

大家帮一下 谢谢！！！

Answer 1

由狭义相对论，我们知道，这个问题必然满足两个条件
第一，质量-能量守恒，也就是动质量守恒或者说总能量（包括动能和静能，静能就是通常说的物质能）守恒
第二，动量守恒。

好，我们来看一个最基本的微观过程，当火箭的速度从v变化为v+dv的时候，其质量分离出了dm。

质能守恒方程为：
m2=m1-dm
动量守恒方程为：
v*m1=v(喷射)*dm+m2*(v+dv)

上述方程在任意惯性参考系中成立，但是火箭不是匀速运动，所以不可以称作惯性参考系。于是，我们选择地球为参考系。

注意，在地球参考系下，质量和速度都是需要经过洛仑兹变换的。
洛仑兹变换下，地球上看到的质量m=m0(这是静质量)*gamma
地球上看到的火箭喷出物速度，当火箭速度为v时看到喷射物速度为-u，则根据洛仑兹变换，地球上看到的喷射物速度应该满足
v(喷射，地球看到的)=(-u+v)/(1-uv/c^2)
这里，我们定义火箭运动的方向为正方向，代入洛仑兹变换得到。
于是上面的守恒方程可以化为：
m1 * v=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm + (v+dv)(m1-dm)
展开后，去掉高阶小量dvdm，得到
0=(-u+v)/(1-uv/c^2) *dm - vdm+mdv ----关键方程1

我们看，当不考虑相对论的时候，这个方程怎么写呢？
质量守恒不变，能量守恒也不变，但是质量是静质量，速度也不用那么复杂
这个方程是
0=(-u+v)dm - vdm + mdv
即 udm = mdv，该式移项积分，积分范围m从Mo到mo，v从0到V
得到 V=ln(Mo/mo)*u，这是我们熟知的。

上面一块，证明了，我们写的关键方程1应该是正确的，因为它可以回到非相对论的形式。
好，下面的问题就是解 关键方程1
移项，分离变量到等号两侧，关键方程1变为
(c^2-uv)dv/(uc^2-uv^2) = dm/m
进一步化简
(1/u)[1/(1-v^2/c^2)]dv-(0.5dv^2)/(c^2-v^2) = dm/m
第一项用三角积分法，第二项可以直接用多项式积分
同样，m从M1积分到m1，v从0积分到V，得到
(c/2u)ln[(c+V)/(c-V)]-0.5ln(c^2)+0.5ln(c^2-V^2) = ln(M1/m1)
两边同时乘2，再取e的指数函数
(1-V^2/c^2)[(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
即 gamma^2 * [(c+V)/(c-V)]^(c/u) = (M1/m1)^2
前面提到过，m1=mo/gamma , 静止时M1=Mo
于是上面的式子化为：
[(c+V)/(c-V)]^(c/2u) = Mo/mo

好，问题结束。

Answer 2

如果从火箭初始速度为0的参考系看,非相对论情况就是V,V是ln(Mo/mo)*u;在相对论情况下，感觉应该是beta*gamma*c=V,那么答案就是sqrt(V^2/(V^2+C^2))*C,其中beta=速度除以光速，gamma=1/sqrt(1-beta^2)，c是光速。