一、函数的奇偶性 1.定义：对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数； 对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数； 2.性质： (1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数； (2) f(x),g(x)的定义域为D； (3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称； (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，奇函数f(x)在原点处有定义，则有f(0)=0； (5)任意一个定义域关于原点对称的函数f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-[f(x)+f(-x)]为偶函数，h(x)=-[f(x)-f(-x)]为奇函数； (6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。 3.判断方法： (1)定义法 (2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数； f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。 4.拓展延伸： (1)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称； (2)一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。 二、周期性： 1.定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当自变量x取定义域内的每一个值时，都有f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数y=f(x)为周期函数。 2.图象特点： 将函数y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数y=f(x)的图象重合。 3.函数图象的对称性与周期性的关系： (1)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|) (2)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=-f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|) (3)若对于函数y=f(x)定义域内任意一个x都有f(a+x)=-f(a-x)且f(b+x)=f(b-x)，(a、b不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|) 典型例题 例1：判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=(x-1)·■ 解：函数的定义域为x∈{x|-1≤x<1} 函数f(x)=(x-1)·■为∴f(x)非奇非偶函数 (2) f(x)=loga(-x+-) 解：x∈R f(-x)=loga(x+- =loga- =-loga(-x+-)=-f(x) ∴f(x)为奇函数 (3)f(x)=x·（-+-) 解：x∈{x∈R|x≠0} f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-) =-x(-+-+1)=0 ∴f(x)为偶函数 (4)f(x)=- 解：1+cosx+sinx≠0 sin(x+-)≠--，x∈{x|x≠2k-且x≠2k--，k∈R} 定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数 说明： 1.判断函数的奇偶性首先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。 2.在判断是否有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)±f(x)=0 例2：(1)已知：f(x)是奇函数，且x>0时f(x)=x|x-2| 求x<0的解析式 解：设x<0,则-x>0 -， 说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量x设在所求的范围内。 2.转化带入利用定义构造方程。 (2)定义在R上的奇函数f(x)且满足f(3+x)=f(3-x)，若x∈(0,3),f(x)=2x 求：当x∈(-6,-3)时，f(x)的解析式。 解：x∈(-6,-3) -x∈(3,6),6-(-x)∈(0,3) - ∴f(x)=-2x+6 说明：1.合理分解题意是关键。 2.此题还可以应用周期性进行求解。 例3：已知：函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x) (1)求证：f(x)为周期函数； (2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=-x，求使得f(x)=--的所有x。 (1)解：- ∴f(x)=f(x+4) f(x)为周期是4的周期函数。 (2)解：x∈[-1,0],-x∈[0,1] - ∴f(x)=-x,x∈[-1,0] ∴f(x)=-x,x∈[-1,1] x∈(1,3),∴-1 - ∴f(x)=--(x-2),x∈[1,3] - x∈[-1,3),f(x)=--,x=-1 ∴x=4n-1,n∈Z
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