已知抛物线顶点和图像上另外一点求二次函数的解析式。

Question

已知二次函数的图象如图所示． （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标； （2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

Answer 1

（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2）， ∵-2=a×1×（-2）， ∴a=1， ∴y=x 2 -x-2，其顶点坐标是（ 1 2 ，- 9 4 ）； （2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b（k≠0）， 点N的坐标为N（h，-t）， 则 0=2k+b - 9 4 = 1 2 k+b ， 解它们组成的方程组得： k= 3 2 b=-3 ， 所以线段BM所在的直线的解析式为：y= 3 2 x-3， N点纵坐标为：-t， ∴-t= 3 2 h-3， ∴h=2- 2 3 t， 其中 1 2 ＜h＜2， ∴s= 1 2 ×1×2+ 1 2 （2+t）（2- 2 3 t）=- 1 3 t 2 + 1 3 t+3， ∴s与t间的函数解析式为， s=- 1 3 t 2 + 1 3 t+3， ∵M点坐标是（ 1 2 ，- 9 4 ）； ∴QN最大值为： 9 4 ， ∴自变量的取值围是： 0＜t＜ 9 4 ； （3）存在符合条件的点P，且坐标是：P 1 （ 5 2 ， 7 4 ），P 2 （ 3 2 ，- 5 4 ）． 设点P的坐标为P（m，n），则 n=m 2 -m-2，PA 2 =（m+1） 2 +n 2 PC 2 =m 2 +（n+2） 2 ，AC 2 =5， 分以下几种情况讨论： （ⅰ）若∠ACP=90°则AP 2 =PC 2 +AC 2 ． 可得：m 2 +（n+2） 2 +（m+1） 2 +n 2 =5， 解得： m 1 = 5 2 ，m 2 =-1（舍去）． 所以点P（ 5 2 ， 7 4 ） （ⅱ）若∠PAC=90°，则PC 2 =PA 2 +AC 2 ∴n=m 2 -m-2 （m+1） 2 +n 2 =m 2 +（n+2） 2 +5 解得： m 3 = 3 2 ，m 4 =0（舍去）．所以点P（ 3 2 ，- 5 4 ）． （ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角． （4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上， 如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点， 第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上， 如图，此时未知顶点坐标是P 1 （-1，-2），P 2 （- 1 5 ， 2 5 ）或 （ 4 5 ，- 8 5 ）．