矩阵的初等变换的性质有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

简述矩阵的初等变换的类型，并给出矩阵的初等变换的性质内容如下：

1、类型

（1）行交换变换：交换矩阵中的两行，记作Ri ⇆ Rj（i≠j）。

（2）行倍乘变换：将矩阵的某一行乘以一个非零常数k，记作kiRi（k≠0）。

（3）行加倍乘变换：将矩阵的某一行加上另一行的k倍，记作Ri+kRj（i≠j）。

2、性质

初等变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的行列式值。矩阵的初等变换可以表示为一个变换矩阵的乘积，这个变换矩阵是一个单位矩阵，将其中某些行进行变换后得到的矩阵。

矩阵的初等变换可以逆转，即对于任何一个矩阵的初等变换，都存在一个逆变换，使得对矩阵进行该变换后再进行逆变换，得到的仍然是原矩阵。矩阵的初等变换是矩阵运算中的基本操作，对于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题具有重要的作用。

矩阵变换应用：

1、分块矩阵：矩阵的分块是处理阶数较高矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵，在运算中，我们有时把这些子块当作数一样来处理，从而简化了表示，便于计算。

2、求演化矩阵：已知矩阵A相似于矩阵B，借助初等变换的方法，可以构造性的获得演化矩阵P。当然，这只是矩阵初等变换的一个小小的应用，它在线性代数中的更重要的应用主要体现于以下几点：求矩阵的秩，求向量组的极大无关组、秩，求解线性方程组，求多项式的最大公因式等。