定积分分部积分法

Question

如题所述

Answer 1

定积分分部积分法是高中数学中的一种重要的计算定积分的方法。它是利用积分的线性性和乘法法则，把原积分转化为另外两个积分的和，从而更容易地求出原积分的值。
具体而言，设 $u=u(x)$ 和 $v=v(x)$ 是两个可导函数，则根据分部积分公式可得：
$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$
将上式中的 $\int v(x)u'(x)dx$ 再次利用分部积分法，就可以得到一个新的积分，如此反复进行下去，直到积分被化为一些容易计算的基本积分。
下面以一个例子来说明分部积分法的应用。
求定积分 $I=\int x\sin x dx$。
根据分部积分公式，我们可以令 $u=x$，$v'=\sin x$，则有：
$$\begin I &= \int x\sin x dx\\ &= -x\cos x+\int \cos x dx\\ &= -x\cos x+\sin x + C \end$$
其中 $C$ 为常数。
从上式可以看出，通过分部积分法，我们将原积分转化为 $\int \cos x dx$，这是一个容易求解的基本积分。因此，利用分部积分法，我们成功地求出了原积分的值。
总之，分部积分法是高中数学中非常重要的一种技巧。它可以简化定积分的计算，并且在工程、物理等实际应用中也具有广泛的应用。因此，我们需要认真学习和掌握这一技巧，从而更好地应对数学问题的挑战。