lnx/x在x趋于正无穷的时候极限为什么是零？

Question

问题如标题，图像如图示，老师说看图像就能看出来，请问怎么从几何角度来分析lnx/x的几何意义，从几何的角度分析为什么是0？(不需要洛，泰，等价等解法，如果有恕不回复)，谢谢！

Answer 1

lnx的增长速度低于x的增长速度。自然对数lnx是一个以e为底的对数函数,它的增长速度相对较慢。而x作为变量直接线性增长,增长速度更快。

lnx与x的比值,即lnx/x,为对数函数ln和线性函数x的比值。随着x的值增大,lnx的值也增加,但是x增加的速度大于lnx。所以lnx/x这个比值会不断减小。

x趋于正无穷表示x的值无限增大。当x取非常大的值时,lnx/x会无限接近于0。因为lnx的值虽然也很大,但相对于x的巨大值来说,变得可以忽略不计。所以x趋于正无穷时,lnx/x的极限值为0。

我们可以通过一个简单的例子来说明:当x = 10时,lnx = 2.30,lnx/x = 0.230
当x = 100时,lnx = 4.61,lnx/x = 0.046
当x = 1000时,lnx = 6.91,lnx/x = 0.0069
当x无限大时,lnx/x无限接近于0所以,通过上述例子和分析我们可以清楚的看出,当x趋于正无穷时,lnx的值虽然也在增长,但是相比于x的巨大增长来说微不足道,可以忽略。所以此时lnx/x的极限值为0。

这是一个关于对数与线性函数增长速度、以及无限大极限的简单例子。理解这个例子有助于我们进一步理解其他更为复杂的极限计算与推导。希望这个解释能够帮助您理解lnx/x在x趋于正无穷时的极限为0这个结论。如果您有任何其他疑问,欢迎提出。我很乐意加以解答。

                                   

Answer 2

这个问题涉及到数学中的极限概念和计算方法。当我们考虑函数 f(x) = lnx/x，其中 x 趋于正无穷时，可以使用极限的定义来求解。
根据极限的定义，当 x 趋近于正无穷时，如果对于任意给定的正数 ε，存在正数 M，使得当 x 大于 M 时，|f(x) - L| < ε，那么我们说 f(x) 的极限为 L。
对于函数 f(x) = lnx/x，我们可以进行以下推导：
f(x) = lnx/x
当 x 趋于正无穷时，lnx 也趋于正无穷，因为 ln 函数是单调递增的。
考虑 x > 1 的情况，我们有 lnx > 0。
因此，f(x) = lnx/x > 0/x = 0。
现在，我们来证明极限为零。对于任意给定的正数 ε，我们要找到一个正数 M，使得当 x > M 时，|f(x) - 0| < ε。
首先，我们可以选择 M = 1/ε，这样当 x > M 时，我们有：
|f(x) - 0| = |f(x)| = lnx/x < x/x = 1
因此，当 x > M = 1/ε 时，|f(x) - 0| < ε。这证明了当 x 趋于正无穷时，f(x) 的极限为零。
总结起来，当 x 趋于正无穷时，函数 f(x) = lnx/x 的极限为零，因为对于任意给定的正数 ε，我们可以找到一个正数 M，使得当 x > M 时，|f(x) - 0| < ε。

Answer 3

当 x 趋于正无穷时，函数 f(x) = ln(x)/x 的极限确实是 0。这可以通过使用极限的定义和一些性质来解释。
首先，我们可以将 f(x) = ln(x)/x 重写为 f(x) = 1/x * ln(x)。现在考虑当 x 趋于正无穷时，1/x 的极限为 0。这是因为 x 越来越大，1/x 就越来越接近于零。
然后，我们来考虑 ln(x) 的增长速度。虽然 ln(x) 是一个递增函数，但它的增长速度是逐渐减小的。也就是说，随着 x 的增大，ln(x) 的增长速度变得越来越慢。具体地说，随着 x 的增大，ln(x) 的增长速度远远小于 x 的增长速度。
综合考虑 1/x 和 ln(x) 的性质，我们可以得出结论：当 x 趋于正无穷时，1/x 趋近于零，而 ln(x) 的增长速度远远小于 x 的增长速度。因此，函数 f(x) = ln(x)/x 的极限为 0。
可以使用数学符号和定义来证明这个结果，但以上的解释希望能够直观地说明为什么当 x 趋于正无穷时，f(x) 的极限是零。

Answer 4

当 x趋于正无穷时，  ( )/ ln(x)/x的极限是0。我们可以从以下几个角度来理解：

代数角度：可以使用洛必达法则来计算该极限。具体地，当 →∞x→∞时，  ( )→∞ln(x)→∞， →∞x→∞，因此  ( )/ →0ln(x)/x→0。

几何角度：我们可以通过画出 =  ( )y=ln(x)和 = y=x的图像来理解  ( )/ ln(x)/x的几何意义。显然  ( )/ ln(x)/x表示的是 =  ( )y=ln(x)和 = y=x这两条直线之间的面积比上 x轴上的线段长度。当 x趋于正无穷时， = y=x这条直线的斜率11比 =  ( )y=ln(x)的斜率1/ 1/x快下降，因此这两条直线夹成的面积趋于0。

概率角度：从概率论的角度来理解，可以将  ( )ln(x)看作ln⁡ln正态分布的概率密度函数，而 x则看作随机变量的取值。当 x趋于正无穷时，  ( )ln(x)趋于无穷小，因此  ( )ln(x)的概率密度在 x趋于正无穷时几乎为0，即  ( )ln(x)与 x成比例关系，比例系数为0，因此  ( )/ ln(x)/x的极限为0。

综上所述，无论从代数角度、几何角度还是概率角度来理解，当 x趋于正无穷时  ( )/ ln(x)/x的极限都是0。

Answer 5

🤔为什么lnx/x在x趋于正无穷的时候极限为零？
在解决这个问题之前，我们需要先了解一些基本概念。
📌极限的定义
极限是一个函数在某个点上的表现，它是函数在该点附近的一种趋势。当x趋近于某个值时，函数f(x)也会趋近于某个值L，这个L就是函数在这个点上的极限。记作：lim(f(x))=L，其中x趋近于a。
📌自然对数的定义
自然对数是以e为底数的对数函数，e是一个无理数，它的近似值为2.71828。自然对数的表达式为ln(x)，其中x是自变量。
现在我们回到问题本身，为什么lnx/x在x趋于正无穷的时候极限为零？
我们可以使用极限的定义来解决这个问题。当x趋近于正无穷时，lnx增长的速度非常缓慢，而x增长的速度非常快，因此lnx/x的值趋近于0。
具体来说，我们可以使用洛必达法则来证明这个结论。洛必达法则是求解函数极限的一种常用方法，它的核心思想是利用导数来求解极限。
使用洛必达法则，我们可以将lnx/x的极限转化为lnx和x的导数的极限。因为lnx的导数是1/x，x的导数是1，所以lnx/x的导数的极限是1/x。当x趋近于正无穷时，1/x趋近于0，因此lnx/x的极限为0。
综上所述，当x趋于正无穷时，lnx/x的极限为0。