傅里叶级数的定义域是不是R？

Question

傅里叶级数的定义域是不是R？傅里叶级数是把一个函数f(t)写成另外一种形式，等号左边是f(t)表达式，右边是一个含t的级数。那么使得等式两边成立的t的取值范围是不是R？还是仅仅是(-T/2,T/2)？

Answer 1

在整个R上展开相当于把非周期函数f(x)看做周期无穷大，由于函数f(x)=x不满足绝对可积条件，就不能应用傅里叶积分理论求f(x)的表达式，即使函数绝对可积，求出来的表达式也不是级数形式的，而是积分表达式。推导过程很麻烦，你可以看一些积分变换的教材。

Answer 2

是的。即使f(t)原来是[-T/2,T/2]上的函数，也要把它延拓为R上的周期函数，然后再作fourier展开。追问

那么，利用傅里叶变换把非周期函数写成一个积分式的时候（傅里叶反变换），t的范围也是R吗？

追答

是的。该积分变换对R上的函数作变换，如果仅在有限区间上函数有定义，则要延拓到R，由于延拓方法不同，此时对得到的结果的可应用性也有区别。

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Answer 3

是的。即使f(t)原来是[-T/2,T/2]上的函数，也要把它延拓为R上的周期函数，然后再作fourier。