海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理,求函数极限则可化为求数列极限,同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此,函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。
海涅定理的内容:
函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是,对于任何满足以下三个条件的数列{xn},都有n→+∞时f(xn)的极限等于A成立:
(1)对任何正整数n,都有xn≠x0;
(2)对任何正整数n,f(xn)都要有定义;
(3)n→+∞时xn→x0.
要证明一个函数极限不存在有两种思路:
一是找到一个满足定理中三个条件的数列{xn}使得n→+∞时f(xn)的极限不存在;
二是找到两个满足定理中三个条件的数列{xn}和{x'n}使得n→+∞时f(xn)和f(x'n)不相等.
此外,若某个函数极限的值已经确定,则对应的数列极限也为此值,这里的理论依据也是海涅定理. 通过这个道理,我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算(这样方便求导、使用洛必达法则等),然后转化回数列极限.
参考资料来源:百度百科-海涅定理
海涅定理的表述是:存在的充要条件是:对属于函数f(x)定义域的任意数列{an},且
,an不等于a,则有
。
先看左边,意思就是说“所有”离a很近的点,它们的像离b很近。而右边对应的提出,“任意”一列趋近于a的点列,它们的像是趋近于b。
乍一看,左边推右边是显然的,因为既然“所有”离a的点的像都离b很近,那么自然,一列趋于a的点列(说明这列点有无穷多个点离a很近)它们的像肯定也离b很近了。
其实右边也有一个条件,与左边的“所有”这个条件一样强,那就是“任意”二字。所以两边是等价条件。
其实就如百度百科上说的,海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。这是句大白话,理解靠个人。在应用中,海涅定理常常会用来证明f(X)在a点的极限不等于b,方法就是找两列趋于a的点列,让他们极限不相等即可。多应用,理解就会加深了。
追问多谢
本回答被提问者采纳