上确界的定义是什么?

Question

如题所述

Answer 1

上确界是序理论中的核心概念，它特指在偏序集(S, ≤)中，对于任何子集A，上确界supA被定义为具有以下性质的最小元素：

supA必须属于集合S。
对于A中的所有元素a，都有a小于等于supA。
supA是所有A的上界中，如果存在另一个元素a满足对A中所有元素都小于等于a，那么supA必然小于等于a。

简而言之，上确界可以看作是A的所有可能上界中，那个最小且足以覆盖所有元素的上限。上确界有时以sup(A)、lubA、LubA或∨A的形式表示。

与上确界相对的是下确界，它们共同构成了序理论中的对偶概念。需要注意的是，并非所有子集A在偏序集中都存在上确界，这是其定义的一个局限性。