任何实系数奇数次代数方程必有实根

Question

大一高数B 证明奇数次多项式方程必有实根
教材：同济大学（蓝色书） 微积分 P74例2：证明：任何实系数奇数次多项式方程必有实根设 方程a0·x^n + a1·x^(n-1) + … + a(n-1)·x + an = 0 (a0≠0 n为奇数)记f(x)=a0·x^n + a1·x^(n-1) + … + a(n-1)·x + an 假设a0>0然后我就不是特别明白 为什么要提出a0·x^n以此变成了a0·x^n·(1+(a1/10)·1/x + … + an/a0·1/x^n)——我觉得没有必要啊

Answer 1

我不见你的教材,我想原证明方法是有反证法吧!假设存在一实系数奇数次多项式方程没有实根,不妨为方程为：a0·x^n + a1·x^(n-1) + … + a(n-1)·x + an = 0 (a0≠0 n为奇数)
记f(x)=a0·x^n + a1·x^(n-1) + … + a(n-1)·x + an 假设a0>0
如存在的方程无实根,即f(x)的图象与x轴无交点,f(x)恒大于0或小于0,不妨设f(x)>0
f(x)=a0·x^n·[1+(a1/a0)·1/x + … + (an/a0)·1/x^n]
设|a1/a0|,.|an/a0|的最大值为M
当x=-2n(M+1)时,
f(-2n(M+1))=a0*[-2n(M+1)]^n×{1+(a1/a0)*-1/[2n(M+1)+...+an/a0·1/[-2n(M+1)]^n