边长相等的图形中，为什么圆形面积最大

Question

如题所述

Answer 1

设周长为X，正方形边长为a，长方形长为b，宽为c，圆的半径为r
则正方形的边长
a=x/4
正方形面积
S正方形=a*a=x^2/16
圆的周长
X=2πr
则r=X/2π
圆的面积
S圆形=πr^2=x^2/4π
长方形周长X=2b+2c
（c+b）=X/2
长方形面积S长方形=b*c
正方形面积x^2/16，圆的面积x^2/4π，
首先比较正方形和圆的面积
很明显x^2/16中分母16大于x^2/4π中分母4π，分子相同分母大的数字小
所以x^2/16小于x^2/4π，所以正方形面积小于圆面积
再来比较正方形和长方形
我们设一个面积为S，长宽为b,c的长方形
可得S=bc
有公式
（b-c)^2=b^2+c^2-2bc大于等于0
可得b^2+c^2大于等于2bc得
bc小于等于(b^2+c^2)/2
很明显只有当b=c的时候
b*c才等于(b^2+c^2)/2
而其他情况下长方形面积b*c均小于(b^2+c^2)/2
而b=c的话，此长方形为正方形
所以可得，周长相同时，正方形的面积一定是大于长方形的
综上可得：周长相等的三种形状中
S圆形
>
S正方形
>
S长方形
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Answer 2

证明：假设是一个正n边形，周长为l
则每条边的长度为l/n，连接某一条边的两个端点到图形中点的两条线段
设其长度为r
则这两条线段与这条边组成一个等腰三角形。
然后就是用l和n表示出正多边形的面积：s=n*每一个等腰三角形面积=n*（1/2）*r^2*sin(2t)
其中2t就是等腰三角形的顶角大小，其大小满足2t=2pi/n(pi表示圆周率)
所以化简之后得到s=l^2/(4*pi)*m*cosm/(sin
m)
这里的m
即为pi/n
接下来就是要证明，这个函数是单调递增且有极限存在。
将s对于m求导可以易得是个单调递减函数
又因为m=pi/n在n为自然数的时候显然又是个单调减的函数，所以随着n增加
m逐渐减小s逐渐增加
所以同等周长的情况下，边数越多的正多边形面积越大。
下面看n趋近于无穷的情况，此时m趋近于0
后面的f（m）=m*cosm/(sin
m)
是一个0/0型的极限，所以使用罗比达法则，上下对于m求导，易得原极限=(cosm-m*sin
m)/(cos
m)
=1
所以原来的f（m）极限就是=1
所以当n趋近于无穷时
面积极限存在等于l^2/(4*pi)
证毕