一道挺有意思的数学题，还请高手给一下证明方法。

Question

证明：从任何一个正整数开始，进行如下运算，都能得到一个简单循环(1-4-2)
运算方式：（任意一正整数）若这个数是奇数，就把这个数乘3再加上1.，若这个数是偶数，就把这个数除以2；所得结果继续按照上述运算方式进行处理。
例：取正整数3，是奇数，则乘3加1，得到结果为10，是偶数，则除以2，得到结果为5，继续按照上述运算方式处理依次得到16、8、4、2、1、4、2、1、4、2、1..................................................................
*证明：如果按照此运算方式运算，则必然能够得到1-4-2循环

Answer 1

这就是著名的角谷猜想，至今尚无人证明。

“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“冰雹猜想”更形象，也更恰当。
为什么叫它“冰雹猜想”呢？顾名思义，这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。
大家知道，小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成冰雹。
“冰雹猜想”就有这样的意思，它算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成一个数字：“1”．
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，如果他是奇数，就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1．
对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9，则 9×3＋1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26， 26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过19个回合(这叫“路径长度”)，最后变成了“1”．
若 N=120，则120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”．
有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776．
由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中，尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。
不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1．……如此下去，经过有限次步骤运算后，它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．

Answer 2

我看了资料：
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”。它首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”。其实，叫它“冰雹猜想”更形象，也更恰当。
为什么叫它“冰雹猜想”呢？顾名思义，这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起。
大家知道，小水滴在高空中受到上升气流的推动，在云层中忽上忽下，越积越大并形成冰，最后突然落下来，变成冰雹。
“冰雹猜想”就有这样的意思，它算来算去，数字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下来，变成一个数字：“1”．
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N，如果它是偶数，就将它除以2，如果他是奇数，就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续，经有限步骤后，最后结果必然是最小的自然数1．
对这个猜想，你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9，则 9×3＋1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26， 26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过19个回合(这叫“路径长度”)，最后变成了“1”．
若 N=120，则120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1．
你看，经过20个回合，最后也仍然变成了“1”．
有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看，它的路径长度为16，比9的还要小些。
我们说“1”是变化的最终结果，其实不过是一种方便的说法。严格地讲，应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈。
这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776．
由于数学这门科学的特点，尽管有了如此众多的实例，甚至再试验下去，达到更大的数目，但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明，因此还只能称它为一个猜想。(在我们所查阅的资料中，尚未见到对这一猜想的完整证明。)可想而知，要证明它或推翻它，都是很不容易的，要设法说出它的实质，也似乎是难上加难。
不仅如此，对于“角谷猜想”，人们在研究过程中或作出了改动，或进行了推广，得出的结果同样富有奇趣。比如，对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数，若它是偶数，则将它除以2；若它是奇数，则将它乘以3再减1．
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．

Answer 3

这道题可以试着用数学归纳法做（我也只是猜测哈）
设这个正整数为a，则a=1，2，3...
当a=1时，3a+1=4,4/2=2,2/2=1,(然后就是4，2，1循环）
当a=2时，（同上）
当a=3时，（如题解）
当a=1时，（同a=1）
.
.
.
可以判断出，a以上述运算法则只要最后算出是4的倍数
（下面用数学归纳法证明:
①当a=1时，3a+1=4,4/2=2,2/2=1,(然后就是4，2，1循环）
②假设当a=n时也成立，则3n+1=m（设m是4的整数倍）
那么，当a=n+1时，
3（n+1)=3n+1+3=m+3
m+3必为奇数，3(m+3)+1=3m+10
对3m,为4的整数倍，必有上述结论
对10，10/2=5，5×3+1=16，16/2=8，8/2=4，4/2=2，2/2=1，1×3+1=4,然后是此循环
∴证明得证。

这个是著名的“考拉兹猜想”，其实目前还没有用数学方法证明其完全成立，（呵呵，我这个也是胡编的，自己认为差不多啦！）
不过，鄙人认为，只要可以把质数证明出来就应该可以了...不过，貌似这个工程比较浩大哈！

Answer 4

这个是著名的“考拉兹猜想”（又称3n＋1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想）
和“哥德巴赫猜想”一样目前还没有用数学方法证明其完全成立

在1930年代，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经研究过这个猜想，因而得名。在1960年，日本人角谷静夫也研究过这个猜想。但这猜想到目前，仍没有任何进展。

目前已经有分布式计算在进行验证。到2005年8月2日，已验证正整数到 6 × 258 = 1,729,382,256,910,270,464，也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。
有的数学家认为，该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/287632.htm?fr=ala0_1_1

Answer 5

3a＋1＝2a＋a ＋1，若为奇数，则结果必为偶数，除以2，为a＋(a＋1)/2，此时(a＋1)/2有奇数偶数两种可能：若(a＋1)/2为奇数，也a＋(a＋1)/2为偶数，执行下一步，除以2；若(a＋1)/2为偶数，则a＋(a＋1)/2为奇数，再×3＋1得4a＋2＋(a＋1)/2，为偶数，再除二2a＋1＋(a＋1)/4，后面的就简单了，自己算吧