在一个Normal form game里，是一定存在至少一个混合策略纳什均衡的。Normal form game简单地说就是常见的那种可以画出M*N的矩阵的game。证明如下：定义一个game：n个player，用i来表示；每个人有有限个策略，player i的策略集用表示，里有个元素；表示player i出第j个策略的概率，，；定义效用函数，是一个维simplex，代表了player i所有可能出的混合策略，是笛卡尔积。这里有一个非常重要的假定：是concave函数，可以理解成边际效用递减的效用函数。对于player i来说，我们把其他所有player的策略写成，所以player i的效用就是。定义best response，也就是给定别人的策略，player i的最优策略：；所以best response是一个correspondence：。注意：给定别人的策略，player i的best response可以是一个集合（不止一个best response)。可证是convex的。把所有人的best response写成，这是一个给定所有人的策略，每个个体都觉得更好的策略组合，我们可以写成，这是一个自己到自己的correspondence。同时可证是一个convex-valued correspondence。是n维欧几里得空间的子集，满足非空、紧（compact）、凸（convex）的性质；是一个自己到自己的correspondence，满足非空、凸（convex-valued）、closed-graph。根据Kakutani fixed-point theorem，有一个不动点，即存在满足，也就是说在所有人的决策是的情况下，任意player i都觉得，如果其他人策略不变，比较简单的game都可以用求出best response correspondence的方法解，这应该包括在你会的两种方法内。但比较复杂的或者决策集是连续的game，一般没有固定解法，很多情况下你找到某个game的纳什均衡就可以发paper了(比如Levitan & Shubik, 1972)。
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