矩阵A可逆，为什么A的转置矩阵乘以A为正定阵.给即A^TA为正定

Question

如题所述

Answer 1

（A^TA）^T=A^TA，即A^TA是对称矩阵。

由于A可逆，可确定│A^TA│=│A│^2＞0

运用数学归纳法可得到：A^TA的顺序主子式都大于0，从而A^TA为正定矩阵。

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

扩展资料：

将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

Answer 2

你好！可以直接利用正定的定义如图证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 3

你好！可以如图用定义证明矩阵A^TA是正定的。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

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Answer 4

因为A可逆, 所以齐次线性方程组 Ax=0 只有零解
即对于 x≠0, 必有 Ax≠0
所以 x^T (A^TA) x = (Ax)^T (Ax) > 0
故 A^TA 正定.

注: 这里A应该是实矩阵