椭圆扇面面积公式

Question

本人知道椭圆形面积公式=3.14*a*b但不知道椭圆扇面积该如何计算,有那位高手知道椭圆扇形面积公式请指教,高分感谢.
有一椭圆形的油灌车，我要在任意高度油的情况下算出油的体积。

Answer 1

设椭圆表达式为(x/a)^2+(y/b)^2=1,

考虑第一象限的部分,有y=b[1-(x/a)^2]^1/2,

则面积的积分为,b[1-(x/a)^2]^1/2 dx从0到a的定积分,

由参数方程x=a*cosα,y=b*sinα,dx=-a*sinα dα,

面积的积分化为-absinα[1-(cosα)^2]^1/2 dα从0到pi/2的定积分,

也就是-absinα^2从pi/2到0的定积分,(注意交换积分区域)

如果计算扇形面积,就从扇形的终止边对应的角β到起始边对应的角α的积分..

即-absinα^2从β到α的定积分,等于sinα/4-α/2-sinβ/4+β/2.. 

这个虽然不是求扇形面积,但相当于扇形与三角形的组合..

若为左侧情况(红色+蓝色),下面半椭圆面积pi*ab/2,蓝色就是三角形,算出点的坐标用底*高/2就可以解决..剩下两块对称的红色扇形,做-absinα^2从0到α的定积分的2倍(α就是红蓝交界线和水平x轴的夹角)..

右侧情况要不相当于pi*ab-左侧情况计算结果,要不相当于扇形面积-三角形面积..

Answer 2

假设扇形两条边长（注）分别为A和B，圆心角为α，那么面积可以表示成S=πAB/2

注：这里的两条边长至的是扇形两个圆弧端点到椭圆中心的连接线段的长度

Answer 3

这个没公式的~~你要是很想算面积用微积分可以算的~~具体看高数书