第1个回答 2010-08-01
已知边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，
这个定值为（√3a/2）是用等面积法来求的；
棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和为定值（√6a/12）
可用等体积法来求；
即棱长为a的正四面体S-ABC内任意一点P到各个面的距离为h1,h2,h3,h4,
从而VP-SAB+VP-SBC+VP-SAC+VP-ABC=VS-ABC
1/3*(（√3a^2/4）*(h1+h2+h3+h4）*4=1/3*(（√3a^2/4）*(√6a/3）
其中（√3a^2/4）为边长为a的正三角形面积；
(√6a/3）为边长为a的正四面体的高；
类比推理不仅仅是形式上的，而且更要看重的是方法。
在本题中即为等边三角形类比正四面体（形式上的）
等面积法类比等体积法（方法上的）
第2个回答 2010-08-01
前者可用等面积法
设距离分别为h1 h2 h3
设△边长为a
则S△=1/2h1*a+1/2h2*a+1/2h3*a=1/2a(h1+h2+h3)=1/4a*√3a
→h1+h2+h3=1/2√3a
推广到空间的正四面体
可以用等体积法
设距离分别为h1 h2 h3 h4
正四面体每个面的面积都是1/2a*√3a=1/2√3*a^2
设1/2√3*a^2=S
则V正四面体=1/3h1*S+1/3h2*S+1/3h3*S+1/3h4*S=1/3S*(h1+h2+h3+h4)
=1/6√3*a^2*(h1+h2+h3+h4)=（√6）/9a*1/6√3*a^2
→h1+h2+h3+h4=（√6）/9a本回答被提问者采纳
第3个回答 2010-08-01
只需要让你求定值的话你不妨设那点就是这个四面体的中心，那么这个点一定在任意一个顶点向对面所作的垂线上(这四条线可交于一点，这可以理解吧)
设其平放时顶点是A，一条棱为AB。用一平面由上至下竖直切下，则把四面体切为平均两部分。
设切面是三角形ABC(C即是原来那条底棱的中点)
则AB=a，BC=AC=二分之根号三a
过A和B作对边垂线，交点即为原四面体中心。求出这点到AC或BC的距离再乘4即为所求
手机打的....
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第4个回答 2010-08-01
体积法，解释一下，四面体的体积是底面积乘以高。正四面体, 四面面积相同，正四面体内任意一点与该正四面体的各个面连起来将正四面体分开成四个部分，底面积是相同的，正四面体的体积不会改变，所以正四面体内任意一点到各个面的距离之和也不会变成为定值，到四个面的高的长度加起来时定值就等于正四面体的高的长度，这就不难算了。
我只告诉你是怎么去理解，结果你自己弄去。好像记得老师告诉过我们这些都是需要记的，答案你自己去算，记忆印象深点
第5个回答 2010-08-01
类比于三角形中的面积法，这个题可用“等积法”证明。
一方面，四面体体积为V=1÷3×S×h …… 1
其中 h=根号6除以3
另一方面，V=1÷3×S×（h1+h2+h3+h4） …… 2
比较1、2，得到h1+h2+h3+h4=h=根号6除以3。
另外，正四面体的必背性质：
当正四面体的棱长为a时，
h=√6a/3，O点把高分为1:3两部分。
表面积：√3a^2
体积：√2a^3/12
对棱中点的连线段的长：√2a/2
外接球半径：R=√6a/4，
内切球半径：r=√6a/12，