第2个回答 2020-03-09
求微分方程 dx/dy+x/(ylny)=1/y的通解;
解:先求齐次方程 dx/dy+x/(ylny)=0的通解:
分离变量得:dx/x=-dy/(ylny)
积分之得:lnx=-∫dy/(ylny)=-∫d(lny)/lny=-lnlny+lnc₁=ln(c₁/lny)
故x=c₁/lny;将c₁换成y的函数u(y);则有 x=u/lny.............①
将①的两边对y取导数得:dx/dy=(lnydu/dy-u/y)/ln²y=(1/lny)(du/dy)-u/(yln²y)..........②
将①②代入原式得:(1/lny)(du/dy)-u/(yln²y)+(u/lny)/(ylny)=1/y
化简得:(1/lny)(du/dy)=1/y;
∴du=[(lny)/y]dy;积分之得u=∫[(lny)/y]dy=∫lnyd(lny)=(1/2)ln²y+c;
代入①式即得通解:x=[(1/2)ln²y+c]/lny=(1/2)lny+(c/lny);