物理碰撞问题

Question

如何证明完全非弹性碰撞损失的机械能最大?用数学计算式表明

Answer 1

为计算简单，请允许我设m2初速度为零。
由动量守恒定律m1*v1=m1*v1'+m2*v2' 可解得v2'=(m1*v1-m1*v1')/m2
碰撞后总动能E=m1*v1'*v1'/2+m2*v2'*v2'/2 代入上结果得
E=m1*v1'*v1'/2+(m1*v1-m1*v1')*(m1*v1-m1*v1')/(2*m2)
=[(m1+m2)*v1'*v1'-2*m1*v1*v1'+m1*v1*v1]*m1/(2*m2)

(m1+m2)*v1'*v1'-2*m1*v1*v1'+m1*v1*v1是以v1'为变量的二次函数，图像是开口向上的抛物线，由数学可知抛物线y=a*x*x+b*x+c以-b/2a为对称轴，也即在
x=-b/2a时，y有最小值。则在v1'=m1*v1/(m1+m2)时，E有最小值。此速度为m1、m2共速时的速度，说明完全非弹性碰撞获得动能最小，损失机械能最大。

Answer 2

由上式可得当U3=U4时 碰撞后机械能最小，也就是损失机械能最大