复合函数求导 怎么求 那种三个四个函数在一起的复合函数 有什么好方法吗

Question

如题所述

Answer 1

链式求导：
设z=f(y), y=φ(x)；x=ψ(t)；那么：
dz/dt=(dz/dy)(dy/dx)(dx/dt).
在解放前，导数不叫导数，叫微商，即微量之商的意思。
因此可把这串导数式看成一串分式作连乘，把相邻的分母
和分子约掉，即得dz/dt.追问

y一撇是怎么出来的

左边求导不就是1/y吗

追答

lny是y的函数，而y是x的函数；因此将lny对x求导时,要
把lny看作复合函数，即u=lny，y=f(x);于是du/dx
=(du/dy)(dy/dx)=(1/y)y'=y'/y.
这个函数y=x^x还有另外一种求导方法：
y=x^x=e^(xlnx)
因此dy/dx=[e^(xlnx)](xlnx)'=[e^(xlnx)](lnx+1)
=(x^x)(lnx+1)
这样就省去两边取对数的步骤了。

追问

就是 对什么（比如x）求导 就把什么看做自变量

追答

可以这么说吧！
比如：y=cos[ln(x+1)]是由y=cosu，u=ln(x+1)复合而成，
那么dy/dx=(dy/du)(du/dx)=-(sinu)[1/(x+1)]=-sin[ln(x+1)][1/(x+1)]
熟练以后，就不必这么麻烦啦。
直接写出：dy/dx=-sin[ln(x+1)][1/(x+1)]

追问

第三题怎么做？谢谢！

追答

两边取对数得：
lnf(x)=lnx+ln(x+1)+ln(x+2)+.....+ln(x+m)
两边对x取导数得：
f'(x)/f(x)=1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+......+1/(x+m)
故f '(x)=f(x)[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+......+1/(x+m)]
=[x(x+1)(x+2)......(x+n)][1/x+1/(x+1)+1/(x+2)+......+1/(x+m)]
∴f'(0)不存在。应选D。

追问

可是答案是C

追答

x=0时lnx没有定义，因此不能用对数求导法。直接求导：
f '(x)=(x+1)(x+2)...(x+n)+x(x+2)(x+3)....(x+n)+x(x+1)(x+3)....(x+n)+.....+x(x+1)(x+2)....(x+n-1)
故f '(0)=n!
应选C。

Answer 2

一层一层求，不要漏下每一层就行了