已知函数f(x)(x不等于0），对于任意非零实数x，y，满足f（xy）=f（x）+f（y）。

Question

（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判断y=f（X）的奇偶性；
（3）若y=f（x）在（0，正无穷）上是增函数，且满足f（x）+f（1-1/x）小于等于0，求x的取值范围。

Answer 1

我来吧 f（xy）=f（x）+f（y）
（1） 令x=y=1 那么 f(1X1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)=0
令x=y=-1 那么 f(1)=2f(-1) f(-1)=0
（2） 令y=-x 那么f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)
奇偶就不用我说了吧
(3) f（x）+f（1-1/x）≤0
所以 f(x(1-1/x)) ≤ f(1)
那么由题目单调性 ① x(1-1/x))=x-1 >0 的话 x-1≤1 所以1<x≤2
② x-1<0 的话 f(x)在（-∞，0）递减 （偶函数 很好证明）
那么 x-1≥-1 所以 0≤x＜1
综上所述 x∈[0,2] 且x≠1

Answer 2

(1)f(1)+f(1)=f(1×1)=f(1)
所以f(1)=0
f(-1)+f(-1)=f(1)=0
所以f(-1)=0
(2)f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)是偶函数
(3)f（x）+f（1-1/x）=f(x-1)<=0
因为y=f（x）在（0，+∞）上是增函数
且f(1)=0,f(-1)=0 f(x)为偶函数
所以必须满足-1<=x-1<=1且x-1≠0
x的取值范围为0<=x<=2 且x≠1