证明存在s属于1到2,fs的导数-fs=f2-2f1

Question

若函数fx具有二阶导数,且f2>f1,f2>积分2到3,fxdx,证明至少存在一点e属于1到3使得fe的二阶导数小于0

Answer 1

f(x)在[1,3]上二阶可导,因此f(x)与f’(x)在[1,3]上连续
在[1,2]上对f(x)运用拉格朗日中值定理,存在一点ξ₁∈(1,2),使得
f(2)- f(1)=(2-1)*f’(ξ₁)=f’(ξ₁)
∵f(2)>f(1),∴f’(ξ₁)>0
由于f(2)>∫{2,3}f(x)dx,利用积分中值定理,在(2,3]上存在一点η,使得
∫{2,3}f(x)dx=f(η),故f(2)> f(η)
在[2,η]上对f(x)运用拉格朗日中值定理,存在一点ξ₂∈(2,η),使得
f(η)- f(2)=(η-2)*f’(ξ₂)
∵f(η) f(2)且η-2>0,∴f’(ξ₂)