求函数∫x^2e^(x2) dx

Question

如题所述

Answer 1

我们可以利用伽马函数来求解该积分
首先，我们来推导一下伽马函数：
伽马函数定义为：Γ(n) = ∫x^(n-1)e^(-x) dx
对该式进行分部积分，得到：
Γ(n) = x^(n-1)[-e^(-x)] + (n-1)∫x^(n-2)e^(-x) dx
当x趋近于正无穷时，[-e^(-x)]趋近于0，因此：
Γ(n) = (n-1)∫x^(n-2)e^(-x) dx
递推得到：
Γ(n) = (n-1)(n-2)...(2)(1)Γ(1)
而Γ(1) = ∫e^(-x) dx = -e^(-x) | = 1
因此，伽马函数可以表示为：
Γ(n) = (n-1)!
接下来，我们来求解该积分：
∫x^2e^(x^2) dx = (1/2)∫x^2e^(x^2) d(x^2)
令x^2 = t，则上式变为：
(1/2)∫t e^t dt = (1/2)Γ(2)
由伽马函数的定义可知：
Γ(2) = ∫x e^(-x) dx = -∫x d[e^(-x)]
= -xe^(-x) + ∫e^(-x) dx
= -xe^(-x) - e^(-x)
当x趋近于正无穷时，[-xe^(-x)]和[-e^(-x)]都趋近于0，因此：
Γ(2) = 1
所以，函数∫x^2e^(x^2) dx的结果为：0.5

Answer 2

原函数不是初等函数
先用分部积分法：∫x^2e(x^2)dx=(1/2)∫xd(e^x^2)=(1/2)xe^(x^2)-(1/2)∫e^x^2dx,这里求∫e^x^2dx,设t=x^2,dx=1/[2t^(1/2)]
原式=∫e^tdt/t^(1/2)
用泰勒展开式e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+..+t^n/n!
=∫[1/t^(1/2)+t^(1/2)+t^(3/2)/2!+t^(5/2)/3!+..+t^(n-1/2)/n!]dt 逐项积分：
=2t^(1/2)+(2/3)t^(3/2)+(2/5)t^(5/2)/2!+(2/7)t^(7/2)/3!+..+(n+1/2)*t^(n+1/2)/n!+C
所以∫x^2e^(x^2)dx
=(1/2)xe^(x^2)-(1/4)[2*x+(2/3)x^3+(2/5)x^5/2!+(2/7)x^7/3!+..+(n+1/2)x^(2n+1)/n!] +C