证明一元函数可导必连续

Question

如题所述

Answer 1

设一元函数为y=f(x),
因为该函数可导，令其在X1处的导数为f'(X1),
由导数的定义可知（f(X)-f(X1))/(X-X1)在X—>X1时极限为f'(X1)
所以f(X)-f(X1)在X—>X1时的极限为f'(X1)×（X-X1）=0,
由极限的运算可知f(X)在X—>X1时极限为f(X1),根据一元函数点连续的定义可知f(X)在X1处连续，由于X1可变，这样可证一元函数y=f(x)在给定区间上也连续，命题即证。