如何理解 函数z=z(x,y)由方程F(x+z/y,y+z/x)=0确定这句话。能否举个例子？

Question

谢谢

Answer 1

方程 F(x+z/y, y+z/x) = 0 有 3 个未知量 x，y，z，
已知 x， y 后可得出 z，即 确定了函数 z = z(x,y)
例如
x+z/y + y+z/x - 1 = 0， xy(x+y-1) + (x+y)z = 0,
z = xy(1-x-y)/(x+y) 即 确定了函数 z = z(x,y).
此例为说明问题简单， 但一般写不出 z = z(x,y)， 但确实确定了函数 z = z(x,y)。
F(x+z/y, y+z/x) = 0， 两边对 x 求偏导， 注意 z 是 x 的函数， 得
F'1[1+(∂z/∂x)/y] + F'2[x(∂z/∂x)-z]/x^2 = 0
x^2F'1[y+(∂z/∂x)] + yF'2[x(∂z/∂x)-z] = 0
∂z/∂x = -(yx^2F'1-yzF'2)/(x^2F'1+xyF'2) ;
F(x+z/y, y+z/x) = 0， 两边对 y 求偏导， 注意 z 是 y 的函数， 得
F'1[y(∂z/∂y)-z]/y^2 + F'2[1+(∂z/∂y)/x] = 0
xF'1[y(∂z/∂y)-z] + y^2F'2[x+(∂z/∂y)] = 0
∂z/∂y = (xzF'1-xy^2F'2)/(xyF'1+y^2F'2).