线性相关和线性无关的定义

Question

如题所述

Answer 1

1. 向量组线性相关意味着存在一组不全为零的系数，使得这些系数乘以向量组中的向量能够线性表出该向量组中的每一个向量。
2. 向量组线性无关指的是不存在一组不全为零的系数，使得这些系数乘以向量组中的向量能够线性表出该向量组中的每一个向量。
3. 当向量组包含零向量时，该向量组必定线性相关，因为零向量总是可以由其他向量通过线性组合得到。
4. 若向量组中包含非零向量的重复项，则该向量组必然线性相关，因为可以通过选择适当的系数使得重复的非零向量线性表出。
5. 向量组的线性相关性不会因为向量个数的增加而改变，因为新增的向量总是可以由原向量组线性表出。
6. 向量组的线性无关性不会因为向量个数的减少而改变，只要剩余的向量仍然不能被线性表出。
7. 如果一个向量组线性无关，那么在该组向量的每个位置增加一个分量后得到的新向量组，仍然保持线性无关。这是因为增加的分量可以通过原向量组的线性组合得到，而不会影响向量组整体的线性无关性。