探索深度学习新境：神经正切核(NTK)的奥秘
在深度学习的浩渺星海中，神经正切核(NTK)理论犹如一盏明灯，引领我们理解神经网络在无限宽参数空间中的行为。这个理论的核心在于其对基础概念的深入剖析，包括Hoeffding不等式和Boole不等式的巧妙运用，它们为NTK的理论构建奠定了坚实的基础。
核的魔法
当我们谈论核函数时，以高斯核为例，它就像是一个神奇的桥梁，将复杂的输入映射到一个简化的特征空间，使得非线性问题在核方法的助力下变得可解。核回归，正是这个魔法的实践，它借助核函数的力量，实现了数据之间的高效交互和预测。
动力学揭示
预测的演化方程是NTK理论的精髓所在，它揭示了神经网络输出随时间动态变化的规律，并阐述了这个变化与NTK的紧密联系。引理1强调，神经网络的输出轨迹几乎完全由NTK决定，这是理解网络行为的关键洞察。
随着训练的进行，引理2揭示了一个惊人的事实：当训练样本足够丰富时，NTK会逐渐逼近初始状态，这一稳定特性为优化过程提供了强大的稳定性保障。而当网络宽度无限增大时，引理3表明NTK在任意时间点都能保持稳定，这对于理解网络的泛化能力和收敛速度至关重要。
解析的钥匙
NTK理论揭示了无限宽网络优化的解析之美，其优化过程可以转换为常微分方程，训练误差的解通过指数级收敛得以实现。特征值的大小决定了收敛的速度，大特征值意味着更快的学习速度。而在泛化分析中，NTK理论紧密连接了核预测函数的泛化理论，为我们提供了深入理解网络性能的窗口。
在多层全连接网络中，特别是使用ReLU激活函数时，网络权重的协方差在宽度趋近于无穷大时会趋于稳定，这为深度可解释性提供了新的视角。这一发现源自白强伟的研究，他深入探讨了随机傅里叶特征、NTK-RoPE、学习高频函数等前沿议题。
总的来说，神经正切核理论为我们揭示了深度学习中一个重要的理论基石，它不仅为我们理解网络行为提供了新途径，也为优化算法设计和网络结构选择带来了新的启示。让我们一同在NTK的指引下，探索深度学习的无尽可能。