当x→1时，无穷小1-x和1/2(1-x²)是否等价？

Question

如题所述

Answer 1

用等价无穷小的定义很快就出来了,但我希望你能记住的是下面这个: 当x是无穷小时,(1+x)^m-1~mx. 只要是形如q^n-1的形态的(这里是(1+x)^m-1),通通给我联想到等比数列的求和公式.怎麼联想? 考虑等比数列1,q,q2,q3,...,q^(n-1),一共有n项,它们的和1+q+q2+...+q^(n-1)=(q^n-1)/(q-1),有没有问题?所以说,q^n-1=(q-1)[1+q+q2+...+q^(n-1)]对不对? 再来,我要证明(1+x)^m-1~mx,根据定义只需要证明lim(x→0)[(1+x)^m-1]/mx=1就行了. 而(1+x)^m-1=x[1+1+x+(1+x)2+...+(1+x)^(m-1)],所以相当於是要证明 lim(x→0)[1+1+x+(1+x)2+...+(1+x)^(m-1)]/m=1,自己看一下这个极限是不是等於1?是的吧?所以就得出结论(1+x)^m-1~mx,当x是无穷小时.

Answer 2

是不是等价，看看二者之比是不是等于1，不就行了吗？

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