泰勒公式的应用及证明?

Question

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Answer 1

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!

Answer 2

Taylor公式是一元微分学的基本理论,在计算及证明中有很重要的应用。1
Taylor公式
[定理]
设函数f(x)在点x处的某邻域内具有n+1阶导数,则对该邻域内异于x的任意点x,在x与x之间至少存在一点,使得
++…++
(1)其中=称为余项,公式(1)称为n阶Taylor公式。令x=0,则式(1)变为++…++
(2)
其中=
(在0与x之间),式(2)称为麦克劳林(Maclaurin)公式。将式(1)中的记作,式(2)中的记作,则式(2)就称为带皮亚诺(Peano)余项的n阶Taylor公式。2
Taylor公式的应用2.1
Taylor公式在计算极限中的应用例:求下列极限
解:
因分子关于x的次数为2,所以
故
可见对于…
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