第一型曲面积分中xy和z通过轮换对称性得到不同的dS却能相加,使用同一个dS,请问是为什么?下面附图

Question

第一张图是题，第二张图是轮换对称性后的样子，第三张图的第一个dS是x和y的dS，第三张图的第二个dS是z的dS，第四张图直接1/3乘以xyz相加并使用同一个dS。xy和z用的dS是不同的呀，请问这里为什么能够相加呀？

Answer 1

轮换对称性里的dS是曲面面积微元的意思，第二张图片里的dS是相同的

第一型曲面积分(对面积的曲面积分)

1、概念的引入实例

若曲面∑是光滑的，它的面密度为连续函数μ(x,y,z)，求它的质量。

设曲面∑是光滑的，函数z=z(x,y)有界，把∑任意分成n小块ΔSi(ΔSi同时也表示第i小块曲面的面积)，设点(ξi,ηi,ζi)为ΔSi上任意取定的点，作乘积f(ξi,ηi,ζi)ΔSi并作和∑(i=1,n)f(ξi,ηi,ζi)ΔSi，如果当各小块曲面的直径的最大值趋于0时，这和式的极限存在，则称∑(i=1,n)f(ξi,ηi,ζi)ΔSi极限为函数f(x,y,z)在在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记为∫∫∑f(x,y,z)dS。

2、第一型曲面面积的计算法

3、普通对称

设曲面∑关于yoz 坐标面对称，被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为奇函数，则曲面积分为0，若被积函数f(x,y,z)关于另一个字母z为偶函数，则曲面积分为两倍对称平面一侧区域上的积分。

4、轮换对称

设∑是光滑或分片光滑的曲面，∑对坐标x,y,z具有轮换对称性，f(x,y,z)在∑上连续，则∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS=∫∫f(x,z,y)dS