如何理解原函数存在定理中的“初等原函数”？

如题所述

推荐答案 2023-09-22

首先根据原函数存在定理，因为e^（x^2）在定义域内连续，故必定存在原函数。这里只是说明了它的原函数存在的。
而至于它的原函数形式如何，我们目前只能证明它"不存在初等的原函数"，关于初等原函数，刘维尔定理给出了其由存在性推导的具体表达形式:
"一个初等函数如果有初等的原函数，那么一定能写成同一个微分域的函数加上有限项该域上函数的对数的线性组合，否则即表明不存在初等的原函数。"
现阶段你可以理解为"e^（x^2）有原函数，但是写不出它的原函数的显式表达式"，至于显式表达是否即初等原函数我也不清楚，有兴趣你可以自己查阅一些此类的文献。
另外关于证明"e^（x^2）不存在初等原函数"的问题，可以参考R.C. Churchill的"Liouville's Theorem on Integration in Terms of Elementary Functions"

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