数分笔记——6种数项级数的收敛性证明的基本方法

Question

如题所述

Answer 1

欢迎来到数学分析的深度探索系列，本文是第(2)篇，紧接上篇的足迹——数学分析复习：函数项级数与广义积分计算详解</。在这个篇章里，我们将深入探讨6种关键的数项级数收敛性证明方法，帮助你掌握关键技巧。

1. 直接验证与极限

当级数的部分和 lim n→∞ Sn</ 存在且有界，那么正项级数 ∑ an</ 便收敛。例如：

例1.1</: 若注意到 an = 1/n^2</，部分和 Sn = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...</ 显然是收敛的。

2. Abel变换与单调性

利用Abel变换，如在例2.1中，如果数列 {bn}</ 收敛且 {an}</ 与 {bn}</ 的乘积级数收敛，那么 {an}</ 也一定收敛。如裴礼文例5.1.26，正项级数 {an}</ 的单调性是决定收敛性的关键。

定理2.2 Dirichlet判别法

若数列 {an}</ 单调递减趋于0，且部分和 Sn</ 有界，那么级数 ∑ an</ 必然收敛，如例2.4所示。

3. 比较判别法

定理3.1指出，如果存在 M</ 使得 an ≤ Mn</ 对于大的 n</ 成立，并且 {Mn}</ 收敛，那么原级数也收敛。如例3.2和3.3展示了这种方法的应用。

4. d'Alembert判别法

当 {an}</ 是单调递减序列且有上界时，d'Alembert判别法为我们提供了判断级数收敛性的有力工具，如例4.1中的具体应用。

5. 等价无穷小与Taylor展开

等价无穷小在比较判别法中扮演着桥梁角色，如例5.1展示了级数收敛对其他级数收敛性的影响。

6. Cauchy准则的威力

Cauchy准则的直观应用，如例6.2和6.3，通过检验序列在任意给定的 ε</ 前面的项数来决定级数的收敛性。

通过以上六个策略，你将能够更深入地理解并掌握数项级数的收敛性证明。让我们继续在数学的道路上探索，掌握这些技巧，为你的学习之路铺平道路。