“上确界”是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 　　
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。 　　
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。

有界集合S，如果β满足以下条件 　　
（1）对一切x∈S，有x≤β，即β是S的上界； 　　
（2）对任意a<β，存在x∈S，使得x>a，即β又是S的最小上界， 　　
则称β为集合S的上确界，记作β=supS 　　
在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”

简单的说，一个存在上界（或下界）的集合，其上界（或下界）的数量将有无数个。
比方说如果s是某个集合m的上界，即s满足m中任何数都不超过s的要求，那么很明显，s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等这些数也满足m中任何数都不超过s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等的要求，所以根据上界的定义s+1；s+0.5；s+2；s+2.8等等这些s+任意正数都是m的上界。所以是无数个。
下界也类似，如果a是某个集合m的下界，即a满足m中任何数都不小于a的要求，那么很明显，a-1，a-0.3；a-2等等这些数也满足m中任何数都不小于a-1，a-0.3；a-2等等的要求，所以a-1，a-0.3；a-2等等这些a-任何正数的数也是m的下界，所以也是无数个。

而所有上界中最小的那个，被称为上确界，那当然就只有1个了。
所有下界中，最大的那个，被称为下确界，那当然也只有1个了。