过点S引三条长度相等但不共面的线段SA,SB,SC

Question

如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。

Answer 1

取BC中点O，连接OA,OS
∵SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60°
∴△SAB与△SAC是正三角形
∴AB=SA=AC
△ABC是等腰三角形
∵O是BC中点
∴AO⊥BC
AO^2=AC^2-OC^2
而∠BSC=90°
则△SBC是等腰直角三角形
∵O是BC中点
∴SO=1/2BC=OC
SO^2=OC^2
则AO^2+SO^2=AC^2=AS^2
即AO⊥SO
又∵AO⊥BC,SO∩BC=O
∴AO⊥面BSC
而AO∈面ABC
∴平面ABC⊥平面B

Answer 2

好久没坐立体几何了，给个结果仅供参考：

取BC中点O，连接AO、SO。

因为，SA=SC 且 ∠ASC=60°所以，ASC为等边三角形，
同理ABS也为等边三角形；

所以AC=AB，ABC为等腰三角形，A点与BC中点的连线即为垂线，所以AO⊥BC

原有SC=SB,所以SBC为直角等腰三角形，且SO⊥BC（原理同上）

根据直角等腰三角形的特点，不难知道，SO=OC，且AC=SA

根据勾股定律，AO^2+OC^2=AC^2 可得 AO^2+SO^2=SA^2

所以AOS也为直角三角形，且AO⊥SO

所以AO⊥平面BSC，可得平面ABC⊥平面BSC