用48个大小相同的小正方体拼成一个大正方体有几种拼法？

Question

如题所述

Answer 1

设大正方体的边长为n，则它的体积为n^3，小正方体的边长为1，则它的体积为1。

由于48个小正方体大小相同，因此它们必须被拼成边长为整数的大正方体。又因为n^3 > 48，所以大正方体的边长n最小为4（即4^3 = 64）。

对于边长为4的大正方体，每个面上都必须有12个小正方体贴合。我们可以根据小正方体占据大正方体的位置，将拼法分为以下几类：

1. 小正方体占据大正方体的一个角落，此时只有1种拼法。
2. 小正方体占据大正方体的一个棱上，此时有4个方向可选，即正对着当前面、顺时针旋转90度、顺时针旋转180度和顺时针旋转270度，每个方向上有3个位置可选，因此共有4 × 3 = 12种拼法。
3. 小正方体占据大正方体的一个面心处，此时有3个方向可选，即垂直于当前面、顺时针旋转120度和顺时针旋转240度，每个方向上有4个位置可选，因此共有3 × 4 = 12种拼法。
4. 小正方体占据大正方体的一个对角线中心处，此时有1种拼法。

综上，对于边长为4的大正方体，共有1 + 12 + 12 + 1 = 26种拼法。对于更大的大正方体，可以按照类似的方法进行计算。