小学奥数题

Question

某图书馆有7名保安，任意3个保安都打不开图书馆，任意4个保安都可以打开图书馆，问图书馆至少有几把锁？钥匙该如何分配？

Answer 1

有锁若干把，现有六个人各掌握一部分钥匙，已知任意两个人同时去开锁，有且恰有一把锁打不开，而任意三个人都可以把全部锁打开，问最少有多少把锁？

注意两个问题：一是这6个人的任意两个组合，必至少不能打开一把琐，所以锁至少需要C（6，2）=15把，二是不同的两人组合，所不能打开的锁是不同的（不然这两对儿组合至少3个人就不能打开那把锁，从而与题意矛盾），这意味着，15把锁足够满足要求，不用增加锁。

具体分配方案如下：
设ABCDEF 6个人， 1-15号锁。

锁号 对应打 配给
不开的组合 （本组合之外的人）
1 AB CDEF
2 AC BDEF
3 AD BCEF
4 AE BCDF
5 AF BCDE
6 BC ADEF
7 BD ACEF
8 BE ACDF
9 BF ACDE
10 CD ABEF
11 CE ABDF
12 CF ABDE
13 DE ABCF
14 DF ABCE
15 EF ABCD

检验一下（其实是明显的），一方面，任何一个两人组合都有一个打不开的琐，另外一方面，对应于任意的三人组合比如AB/C/D/E/F的三人组合，前两者组合比如AB可以打开除一把锁比如1号之外的所有锁，而另外一个可以打开那把前两者不能打开的锁，比如1号锁，从而可以打开所有的锁。

所以15把锁满足要求。

额外说一句，你知道每把锁需要配多少把钥匙么？嘿嘿。再问一下，10个人任意3人不能开，任意4人能开（注意不存在半数之说），会不会改变结果？嘿嘿嘿。

一旦明白了这个原理，这类题目就很简单了，看到了就可以给出答案，比如本题目，需要锁的数目是C（7，3）=35

Answer 2

Answer 3

C(4、7)=35即至少有35把锁
因为任意3个保安都打不开图书馆，即剩下的四个人必然都有开不了的锁的钥匙
要使图书馆的锁最少，则三个人开不了的锁只有一个
于是求7名保安取4名的组合情况，C(4、7)=35，即至少有35把锁
其中任意三个人只有一把锁开不了,C(2、6）=15.，即每个人的钥匙=35-15=20把
其中任意三个人都有一把锁开不了而剩下四个人都有那把锁的钥匙本回答被网友采纳

Answer 4

4把锁

Answer 5

一起动动脑