苏教版初中数学中考压轴题求解答案

Question

一、已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求|a|+|b|+|c| 的最小值.

Answer 1

这个题目的关键就是要看懂a+b+c=2，abc=4的本质意义，其本质意义是a,b,c具有对称性（也就是说也就是说，将a,b,c互换位置不改变方程的性质），a,b,c谁都可以为最大者，那么我们假设b为最大者（a,b,c中最大的一个必定大于零，），
（1）将第一个式子中变为c=2-a-b,带入第二个式子并化简可以得到a^2b+ab^2-2ab+4=0,将b看着常数，a看着未知数化简为a^2b+a(b^2-2b)+4=0,要使得这个方程有解，则△大于或等于0，△=b^4-4b^3+4b^2-16b=b(b^2+4)(b-4)>=0,因为假设b为最大者，易知b>0,b^2+4>0,该不等式等价于b-4>=0,即b>=4,所以，b的最大值为4，所以a，b，c中的最大者的最小值为4。
（2），设|a|=x，|b|=y，|c|=z，则|a|+|b|+|c|=x+y+z;由于x+y+z>=3√xyz=3*√4=6;|a|+|b|+|c| 的最小值为6

Answer 2

A=2-B-C
（2-B-C）BC=4
2BC-B方C-BC方=4
CB方+（C方-2C）B+4=0
B有解
则（C方-2C）方-16C大于等于0
C四-4C三+4C方-16C大于等于0
C三-4C方+4C-16大于等于0
C方（C-4）+4（C-4）大于等于0
（C方+4）（C-4）大于等于0
C最小=4
即a，b，c中的最大者的最小值=4

当A=B时，C=4
A+B=-2，AB=1
A=B=-1
|a|+|b|+|c| 的最小值=1+1+4=6