物理动能定理。

Question

1。。质量为m的小球被系在轻绳的一端，在树枝平面内做半径而R的圆周运动，运动过程中。小球受到空气阻力的作用，在某一时刻小球通过轨道最低点时绳子拉力为7mg，此后小球继续做圆周涌动，装过半个圆周恰好通过最高点，则此过程中小球克服阻力所作的功是多少。

2。。半径为R的光滑圆形轨道位于竖直平面内，一质量为m的小球沿其内侧作圆周运动，经过最低点时速度V1=根号7Rg，求（1）小球经过最低点时对轨道的压力是多少，（2）小球经过最高点时速度V2

Answer 1

1、
由“小球通过半个圆周恰好通过最高点”得到：
小球最高点时，mg=m(V^2)/R
因此V^2=gr
所以小球最高点动能E1=m(V^2)/2=mgR/2
由“小球通过轨道最低点时绳子拉力为7mg”得到：
小球最低点时，mg+(m(v^2)/R)=7mg
因此v^2=6gR
所以小球最低点动能E2=m(v^2)/2=3mgR
由能量守恒定律得：
E1+W=E2
所以W=E2-E1=5mgR/2
因此小球克服阻力所做的功伟5mgR/2

2、
(1)小球最低点时的速度为根号(7Rg)，
所以小球最低点的向心力m((V1)^2)/R=7mg
因为小球对轨道的压力=离心力，轨道提供小球的向心力
所以压力F=向心力=7mg
(2)小球最低点的动能E=m((V1)^2)/2=7mRg/2
因为小球最高点时，动能转化为重力势能的量为mgH=2mgR
所以小球最高点的动能为E-2mgR=3mRg/2
因为小球最高点动能E2=m((V2)^2)/2=3mgR/2
所以V2=根号(3gR)

Answer 2

1.设小球在通过最低端时的瞬时速度为V1，由题可知小球在最低端时向心力为(7mg-mg)
6mg，则由圆周的运动公式可求得:
V1^2=6gR
又由“装过半个圆周恰好通过最高点”可知重力完全提供向心力，所以设最高点的速度用V2表示，则由圆周的运动公式可求得:
V2^2=gR
在小球有最低点到最高点运动过程中只有重力和空气阻力做功，所以有动能定理可得出：
-2mgR-W(空气阻力做功）=1/2m(v2^2-v1^2)
解得W(空气阻力做功）=4.5mgR

2.由题可知，在小球在到最低点时的对轨道的压力不光有向心力提供还有其自身的重力，所以小球经过最低点时对轨道的压力等于
F=mg+7mg(通过V1，利用圆周公式可求得）
=8mg
（2）由题可知，小球从最低点到最高点只有重力做工，故有动能定理可得
-2mgR=1/2m(V2^2-V1^2)
求得V2=√3gR

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