高数罗尔定理问题，怎么用两次罗尔定理？

Question

如题所述

Answer 1

因为f(x)在[1,2]上二阶可导，所以F(x)在[1,2]上也二阶可导
F(1)=F(2)=0
F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)^2*f'(x)
所以根据罗尔定理，至少存在一点m∈(1,2)，使得F'(m)=0
因为F'(1)=0
所以再根据罗尔定理，至少存在一点k∈(1,m)，使得F''(k)=0
即，至少存在一点k∈(1,2)，使得F''(k)=0

Answer 2

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Answer 3

1.步骤类：①整体简介②所需工具/原料③方法/步骤④注意事项
2.常识类：①直接回答问题②详细给出具体原因/理由/介绍
3.原因类：①详细解释原因/理由②提供有效解决方案（构成见步骤类）
4.其他类型详见高质量标准（点击回答框右侧图片）

Answer 4

反证法，
假设n-1阶导数有至少k+2个不同实根
利用罗尔定理
n阶导数有至少k+1个不同实根
与题设矛盾。

Answer 5

罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b）；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.

首先根据题目要求的结果是f'(x)=0及其零点所在的区间，这与罗尔定理的结论形式上一致
第二题目条件给出了f(x)的四个零点，让人联想到区间端点值相等，这符合罗尔定理的第三个条件
由此想到要应用罗尔定理。