线性代数余子式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

在线性代数中，当我们给定一个n阶方阵A时，可以通过删除第i行和第j列后得到一个(n-1)阶的子方阵，这个子方阵称为A的(i,j)余子式。余子式的计算不考虑元素的正负号。
例如，对于一个3阶方阵A：
A = |a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|
其中，A的(2,2)余子式记为M22，它是将第2行和第2列删除后得到的2阶子方阵：
M22 = |a11 a13|
|a31 a33|
代数余子式是与余子式对应的概念，它是余子式的一种特殊情况。代数余子式的计算考虑元素的正负号，与其所在位置相关。对于一个n阶方阵A，其代数余子式Aij等于余子式Mij与元素aij的乘积，即：
Aij = (-1)^(i+j) * Mij
其中，(-1)^(i+j)表示一个符号因子，它的值为正或负，取决于i和j的奇偶性。如果i+j是偶数，则符号因子为1，如果i+j是奇数，则符号因子为-1。
例如，在上述3阶方阵A中，元素a22的代数余子式A22就是：
A22 = (-1)^(2+2) * M22
A22 = M22
而元素a12的代数余子式A12则是：
A12 = (-1)^(1+2) * M12
A12 = -M12
代数余子式在计算矩阵的行列式、伴随矩阵等方面非常有用。