关于常微分方程的一个问题

Question

王高雄版的《常微分方程》书上有个这样两个定理，①若x1（t），x2（2），……，xn（t）在区间a≤t≤b上线性相关，则在[a，b]上它们的朗斯基(Wtonsky）行列式W（t）≡0②如果齐次线性微分方程的解x1（t），x2（t），…，xn（t）在区间a≤t≤b上线性无关，则其朗斯基行列式W（t）在这个区间的任何点上都不等于0，即W（t）≠0（a≤b≤t）
问题：书上专门说明了定理①的逆命题不正确，举出来的例子是两个分段函数，分别是x1（t）=t乘以t（-1≤t＜0）或0（0≤t≤1），x2（t）=0（-1≤t＜0）或t乘以t（0≤t≤1），它们的W（t）≡0，但它们线性相关……我想问的是令W（t）≡0又线性无关的x1（t），x2（t），…，xn（t）是不是一定不是齐次线性微分方程的解函数？它们可不可以是非齐次线性微分方程的解函数？需要证明……谢谢啦
定理②成立可知其逆否命题一定成立，故可知若x1（t），x2（t），…，xn（t）是解函数（条件A），又有其W（t）≡0（条件B）可得x1（t），x2（t），…，xn（t）线性无关（结论C），我想知道由条件B加上结论C是否可得到条件A

Answer 1

记命题 A：x1（t），x2（2），……，xn（t）在区间a≤t≤b上线性相关
B：x1（t），x2（2），……，xn（t）在区间a≤t≤b上线性无关
C：x1（t），x2（t），…，xn（t）是齐次线性方程的解函数
D：W（t）≡0
它们的关系如下：
1、A是D的充分条件，但不能由D推出A（即逆命题不成立），即D只是A的必要条件，而不是充分条件。什么时候才能成为充分的呢？只要再加上C就可以了。也就是说，D+C就可以得到A。
2、这样在C成立的前提下，朗斯基行列式的值等于零成为了线性相关的充要条件。那么朗斯基行列式的值不等于零成为了线性无关的充要条件。
最后可以得到结论：可以用朗斯基行列式的值等不等于零来判定函数列的线性相关性（当然必须保证该函数列中的每一个函数都是齐次线性方程的解）。

Answer 2

W(t)≡0，且x1，x2，…，xn线性无关，那么x1，x2，…，xn一定不是齐次线性方程组的解，∵在证明了解的存在唯一性时，就已经证明了：“x1,x2,x3,…,xn线性无关”等价于“x1(t0),x2(t0),x3(t0),…,xn(t0)线性无关，对任意(也可表述为存在)t0∈[a,b]”
另外对于其次线性方程组来说，不仅有“如果齐次线性微分方程的解x1（t），x2（t），…，xn（t）在区间a≤t≤b上线性无关，则其朗斯基行列式W（t）在这个区间的任何点上都不等于0，即W（t）≠0（a≤t≤b）”还有一个重要的刘维尔公式：
若x1，x2，…，xn是齐次线性方程组的解，那么，它们的朗斯基行列式:W(t)=W(t0)*exp{∫(t0,t)|trA(s)ds},其中∫(t0,t)|表示t0到t的定积分。
至于它们是不是非齐次线性方程组的解，那很难说，但是至少可以这样去思考：如果他们是非齐次线性方程组的解，那么根据行列式性质，将朗斯基行列式中第一列乘以-1加到其他列中，不改变行列式的值，那样就把其他列变成了与这个非齐次线性方程组相对应的齐次线性方程组的解，而且这些解都是是线性无关的(不妨设它们是φ1，φ2，φ3，…，φn-1)。现在只能说明它们有可能是非齐次线性方程组的解函数，只要x1(t)总在φ1(t)，φ2(t)，…，φn-1(t)张成的n-1维线性子空间中，但我还不能找到一个满足这样性质的解，以说明它们一定存在，也没有办法证否。本回答被提问者采纳

Answer 3

你这样理解吧，其实跟线性代数里的一样：
齐次方程的通解由数个特解线性组合
非齐次的通解则是对应齐次方程的通解+任意非齐次方程的特解

朗斯基行列式和解之间的线性相关性是等价互换的，因为其本质就是线性方程组

理解了这两点再去想想你的问题吧，看看有否新的理解