要证明xn求和幂函数的收敛性，我们可以使用数学分析中的一些基本定理和方法。首先，我们需要明确收敛性的定义：如果一个数列的项逐渐趋近于某个确定的值，那么我们就说这个数列是收敛的。
对于xn求和幂函数，我们假设其形式为f(x)=x^n，其中n是一个正整数。我们的目标是证明当n趋于无穷大时，这个函数的和收敛。
首先，我们可以将这个求和问题转化为一个积分问题。根据幂函数的性质，我们知道f(x)在[0,1]上的积分等于1/(n+1)。因此，我们可以将xn求和幂函数的和表示为∫f(x)dx从0到n。
然后，我们可以使用黎曼-斯蒂尔茨定理来证明这个积分的极限存在。黎曼-斯蒂尔茨定理告诉我们，如果一个函数在一个闭区间上连续，并且在该区间的一个子区间上可微分，那么这个函数在这个区间上的积分就存在。
由于f(x)=x^n在[0,1]上是连续的，并且在该区间上可微分（实际上，它在[0,1]上是单调递增的），所以我们可以应用黎曼-斯蒂尔茨定理，得到∫f(x)dx从0到n的极限存在。
最后，我们需要证明这个极限就是f(x)在[0,1]上的积分，即1/(n+1)。为了证明这一点，我们可以使用洛必达法则。洛必达法则是一种用于求解极限的方法，它告诉我们，如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么可以通过求导来简化这个极限。
在这种情况下，我们可以看到，当n趋于无穷大时，1/(n+1)趋于0/0的形式。因此，我们可以对两边求导，得到-1/(n+2)。再次求导，得到1/(n+3)^2。这个过程可以无限进行下去，但是我们注意到，当我们求到第n+2次导数时，得到的是一个常数项。因此，我们可以得出结论，当n趋于无穷大时，f(x)在[0,1]上的积分就是1/(n+1)。
综上所述，我们已经证明了xn求和幂函数的收敛性。